האוניברסיטה הפתוחה · קורס 20474
פתרון מבחן — אינפי 1 / חדו"א 1, 2025ב מועד א1
- 2025ב
- מועד א1
- מס' מועד 81
- 24.07.2025
מועד 81, 24.07.2025. פתרון מלא לכל עשר השאלות — חלק ראשון (1-5, עונים על שלוש בלבד, ומבין 4 ו-5 רק על אחת — לפי סמסטר הלימוד; 25 נק' לשאלה) וחלק שני (6-10, חובה, רב-ברירה, 5 נק' לשאלה). בכל סעיף שבו קיימות שתי דרכים שונות באמת מוצגות שתיהן.
10שאלות
מצב סימולציה: פתרו כל סעיף בעצמכם, חשפו את הפתרון, וסמנו אם צדקתם. ההתקדמות נשמרת במכשיר שלכם.
0/1 סעיפים נבדקו
25נק'
שאלה 1 — משפט בולצאנו-ויירשטרס — לכל סדרה חסומה יש תת-סדרה מתכנסת
1
הוכחת משפט בולצאנו-ויירשטרס (משפט 3.32)
הוכיחו את משפט בולצנו-ויירשטראס (משפט 3.32):
לכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת.
לכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת.
תשובה
חסומה מתכנסת
25נק'
שאלה 2 — חסימות סדרה מתכנסת ומשפט ערך הביניים
א
הוכחת משפט 2.16 — סדרה מתכנסת חסומה (10 נק')
א. (10 נק')
הוכיחו את משפט 2.16:
כל סדרה מתכנסת היא חסומה.
הוכיחו את משפט 2.16:
כל סדרה מתכנסת היא חסומה.
ב
מקבלת כל ערך חיובי אינסוף פעמים (15 נק')
ב. (15 נק')
הוכיחו שהפונקציה מקבלת בקטע כל ערך חיובי אינסוף פעמים.
כלומר יש להוכיח שלכל , למשוואה יש אינסוף פתרונות בקטע .
הוכיחו שהפונקציה מקבלת בקטע כל ערך חיובי אינסוף פעמים.
כלומר יש להוכיח שלכל , למשוואה יש אינסוף פתרונות בקטע .
25נק'
שאלה 3 — גבול נקודתי מול סופרמום —
1
הגבול כאשר לכל
(1) עבור כל , חשבו את .
הערה: מדובר בגבול של סדרה. מופיע בה כמספר קבוע (פרמטר). התוצאה יכולה להיות תלויה ב-.
הערה: מדובר בגבול של סדרה. מופיע בה כמספר קבוע (פרמטר). התוצאה יכולה להיות תלויה ב-.
2
חישוב עבור קבוע
(2) נסמן בקטע , כאשר .
הערה: זו פונקציה בקטע . מופיע בה כמספר קבוע (פרמטר).
חשבו את .
הערה: התוצאה היא מספר שיכול להיות תלוי ב-.
רמז: חקרו את הפונקציה בקטע , מצאו את .
הערה: זו פונקציה בקטע . מופיע בה כמספר קבוע (פרמטר).
חשבו את .
הערה: התוצאה היא מספר שיכול להיות תלוי ב-.
רמז: חקרו את הפונקציה בקטע , מצאו את .
3
האם ?
(3) נסמן (תוצאת הסעיף הקודם). הערה: זו סדרה.
הוכיחו או הפריכו: .
(הסעיפים אינם שווי משקל)
הוכיחו או הפריכו: .
(הסעיפים אינם שווי משקל)
25נק'
שאלה 4 — סכום ריבועים השואף לאפס; חסימות (למי שלמד בסמסטר 2024א/ב/ג)
א
גוררת ו- (10 נק')
לפניך שתי שאלות. ניתן לענות על שאלה אחת מבין השתיים בהתאם לסמסטר הלימוד שלך: אם למדת את הקורס בסמסטר 2024א או 2024ב או 2024ג – יש לענות על שאלה מס' 4. אם למדת את הקורס בסמסטר אחר (שנה 2025 או שנה 2023) – יש לענות על שאלה מס' 5. לתשומת לבך! באחריות הסטודנט/ית להקפיד על בחירת השאלה המתאימה.
שאלה 4 (25 נקודות) – רק למי שלמד/ה את הקורס בסמסטר 2024א/ב/ג
א. (10 נק')
הוכיחו/הפריכו:
יהיו , סדרות כך שמתקיים . אז .
שאלה 4 (25 נקודות) – רק למי שלמד/ה את הקורס בסמסטר 2024א/ב/ג
א. (10 נק')
הוכיחו/הפריכו:
יהיו , סדרות כך שמתקיים . אז .
ב
האם חסומה ב-? (15 נק')
ב. (15 נק')
הוכיחו או הפריכו:
הפונקציה חסומה בקטע .
הוכיחו או הפריכו:
הפונקציה חסומה בקטע .
25נק'
שאלה 5 — סכום ריבועים השואף לאפס; רציפות במ"ש של (למי שלמד בסמסטר אחר)
א
גוררת ו- (10 נק')
שאלה 5 (25 נקודות) – רק למי שלמד/ה את הקורס בסמסטר אחר (שנה 2025 או שנה 2023)
א. (10 נק')
הוכיחו/הפריכו:
יהיו , סדרות כך שמתקיים . אז .
א. (10 נק')
הוכיחו/הפריכו:
יהיו , סדרות כך שמתקיים . אז .
ב
האם רציפה במידה שווה ב-? (15 נק')
ב. (15 נק')
הוכיחו או הפריכו:
הפונקציה רציפה במידה שווה בקטע .
הוכיחו או הפריכו:
הפונקציה רציפה במידה שווה בקטע .
5נק'
שאלה 6 — מול התכנסות
6
רב-ברירה — אילו מהטענות נכונות?
חלק שני — שאלות 6-10 – חובה. ענו על כל חמש השאלות. בכל אחת מהשאלות יש טענה נכונה אחת בדיוק. סמנו את הטענה הנכונה בעמוד האחרון של מחברת הבחינה במקום המיועד לכך. לא נדרש נימוק – רק סימון במחברת מהי התשובה הנכונה.
שאלה 6 (5 נקודות)
1. אם אז קיים טבעי כך שלכל מתקיים .
2. אם קיים טבעי כך שלכל מתקיים אז .
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה.
שאלה 6 (5 נקודות)
1. אם אז קיים טבעי כך שלכל מתקיים .
2. אם קיים טבעי כך שלכל מתקיים אז .
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה.
5נק'
שאלה 7 — — רציפות וחסימות
7
רב-ברירה — אילו מהטענות נכונות?
שאלה 7 (5 נקודות)
תהי .
1. כל היא נקודת אי רציפות.
2. חסומה בכל קטע מהצורה כאשר .
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה
תהי .
1. כל היא נקודת אי רציפות.
2. חסומה בכל קטע מהצורה כאשר .
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה
5נק'
שאלה 8 — רציפות של בנקודה
8
רב-ברירה — אילו מהטענות נכונות?
שאלה 8 (5 נקודות)
תהי
1. אם אז רציפה ב-.
2. אם אז רציפה ב-.
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה
תהי
1. אם אז רציפה ב-.
2. אם אז רציפה ב-.
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה
5נק'
שאלה 9 — ; פונקציה עם
9
רב-ברירה — אילו מהטענות נכונות?
שאלה 9 (5 נקודות)
1. לכל מתקיים .
2. קיימת פונקציה רציפה ב- כך שלכל מתקיים .
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה
1. לכל מתקיים .
2. קיימת פונקציה רציפה ב- כך שלכל מתקיים .
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה
5נק'
שאלה 10 — מתת-קטעים סגורים אל כל הקטע
10
רב-ברירה — אילו מהטענות נכונות?
שאלה 10 (5 נקודות)
תהי פונקציה המוגדרת בקטע .
1. אם לכל קטע הפונקציה חסומה ב-, אז חסומה ב-.
2. אם לכל קטע הפונקציה רציפה ב-, אז רציפה ב-.
הטענות הנכונות הן: א. 1. ב. 2. ג. 1,2. ד. אף טענה אינה נכונה.
תהי פונקציה המוגדרת בקטע .
1. אם לכל קטע הפונקציה חסומה ב-, אז חסומה ב-.
2. אם לכל קטע הפונקציה רציפה ב-, אז רציפה ב-.
הטענות הנכונות הן: א. 1. ב. 2. ג. 1,2. ד. אף טענה אינה נכונה.