האוניברסיטה הפתוחה · קורס 20474
פתרון מבחן — אינפי 1 / חדו"א 1, 2025ב מועד א2
- 2025ב
- מועד א2
- מס' מועד 85
- 07.07.2025
07.07.2025. פתרון מלא לכל השאלות — חלק ראשון (1-5, עונים על שלוש בלבד, ומבין 4 ו-5 רק על אחת; 25 נק' לשאלה) וחלק שני (6-10, רב-ברירה חובה; 5 נק' לשאלה). בכל סעיף שבו קיימות שתי דרכים שונות באמת מוצגות שתיהן.
10שאלות
מצב סימולציה: פתרו כל סעיף בעצמכם, חשפו את הפתרון, וסמנו אם צדקתם. ההתקדמות נשמרת במכשיר שלכם.
0/1 סעיפים נבדקו
25נק'
שאלה 1 — משפט 2.52 — סדרת הממוצעים ההנדסיים
1
הוכחת משפט 2.52
הוכיחו את משפט 2.52:
תהי סדרת מספרים חיוביים ותהי סדרת הממוצעים ההנדסיים שלה. אם הסדרה שואפת לגבול (סופי או אינסופי) אז הסדרה שואפת לאותו הגבול.
תהי סדרת מספרים חיוביים ותהי סדרת הממוצעים ההנדסיים שלה. אם הסדרה שואפת לגבול (סופי או אינסופי) אז הסדרה שואפת לאותו הגבול.
תשובה
25נק'
שאלה 2 — משפט 2.22 ומשפט ויירשטרס בקטע לא חסום
א
הוכחת משפט 2.22 — אפסה כפול חסומה (10 נק')
א. (10 נק')
הוכיחו את משפט 2.22:
מכפלה של סדרה אפסה וסדרה חסומה היא סדרה אפסה.
הוכיחו את משפט 2.22:
מכפלה של סדרה אפסה וסדרה חסומה היא סדרה אפסה.
ב
⇒ מקבלת מינימום ב- (15 נק')
ב. (15 נק')
תהי פונקציה רציפה בקטע המקיימת לכל .
הוכיחו ש- מקבלת מינימום ב-.
תהי פונקציה רציפה בקטע המקיימת לכל .
הוכיחו ש- מקבלת מינימום ב-.
25נק'
שאלה 3 — גבול נקודתי מול סופרמום —
1
הגבול כאשר עבור קבוע
(1) עבור כל , חשבו את .
הערה: מדובר בגבול של סדרה. מופיע בה כמספר קבוע (פרמטר). התוצאה יכולה להיות תלויה ב-.
(הסעיפים אינם שווי משקל)
הערה: מדובר בגבול של סדרה. מופיע בה כמספר קבוע (פרמטר). התוצאה יכולה להיות תלויה ב-.
(הסעיפים אינם שווי משקל)
2
חישוב עבור קבוע
(2) נסמן בקטע , כאשר .
הערה: זו פונקציה בקטע . מופיע בה כמספר קבוע (פרמטר).
חשבו את .
הערה: התוצאה היא מספר שיכול להיות תלוי ב-.
רמז: חקרו את הפונקציה בקטע , מצאו את .
הערה: זו פונקציה בקטע . מופיע בה כמספר קבוע (פרמטר).
חשבו את .
הערה: התוצאה היא מספר שיכול להיות תלוי ב-.
רמז: חקרו את הפונקציה בקטע , מצאו את .
3
הוכיחו או הפריכו:
(3) נסמן (תוצאת הסעיף הקודם). הערה: זו סדרה.
הוכיחו או הפריכו: .
הוכיחו או הפריכו: .
25נק'
שאלה 4 — רק למי שלמד בסמסטר 2024א/ב/ג — וחסימות
א
הוכיחו/הפריכו: גורר (10 נק')
א. (10 נק')
הוכיחו/הפריכו:
תהי סדרה כך שכמעט לכל מתקיים וגם .
אז .
הוכיחו/הפריכו:
תהי סדרה כך שכמעט לכל מתקיים וגם .
אז .
ב
הוכיחו או הפריכו: חסומה ב- (15 נק')
ב. (15 נק')
הוכיחו או הפריכו:
הפונקציה חסומה בקטע .
הוכיחו או הפריכו:
הפונקציה חסומה בקטע .
25נק'
שאלה 5 — רק למי שלמד בסמסטר אחר (2025 או 2023) — ורציפות במ"ש
א
הוכיחו/הפריכו: גורר (10 נק')
א. (10 נק')
הוכיחו/הפריכו:
תהי סדרה כך שכמעט לכל מתקיים וגם .
אז .
הוכיחו/הפריכו:
תהי סדרה כך שכמעט לכל מתקיים וגם .
אז .
ב
הוכיחו או הפריכו: רציפה במ"ש ב- (15 נק')
ב. (15 נק')
הוכיחו או הפריכו:
הפונקציה רציפה במידה שווה בקטע .
הוכיחו או הפריכו:
הפונקציה רציפה במידה שווה בקטע .
5נק'
שאלה 6 — הגדרת הגבול עם — שני כיוונים
6
רב-ברירה — אילו מהטענות נכונות?
1. אם אז לכל טבעי קיים כך שמתקיים .
2. אם לכל טבעי קיים כך שמתקיים אז .
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה
2. אם לכל טבעי קיים כך שמתקיים אז .
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה
5נק'
שאלה 7 — — רציפות וחסימות
7
רב-ברירה — אילו מהטענות נכונות?
תהי .
1. כל היא נקודת אי רציפות.
2. חסומה בכל קטע מהצורה .
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה
1. כל היא נקודת אי רציפות.
2. חסומה בכל קטע מהצורה .
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה
5נק'
שאלה 8 — — רציפות ב-
8
רב-ברירה — אילו מהטענות נכונות?
תהי .
1. אם אז רציפה ב-.
2. אם אז רציפה ב-.
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה
1. אם אז רציפה ב-.
2. אם אז רציפה ב-.
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה
5נק'
שאלה 9 — אי-שוויון עם וגבול באינסוף
9
רב-ברירה — אילו מהטענות נכונות?
1. לכל מתקיים .
2. קיימת פונקציה רציפה וחסומה ב- כך ש-.
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה
2. קיימת פונקציה רציפה וחסומה ב- כך ש-.
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה
5נק'
שאלה 10 — תכונות בכל תת-קטע
10
רב-ברירה — אילו מהטענות נכונות?
תהי פונקציה המוגדרת בקטע .
1. אם לכל קטע הפונקציה חסומה ב-, אז חסומה ב-.
2. אם לכל קטע הפונקציה רציפה ב-, אז רציפה ב-.
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה
1. אם לכל קטע הפונקציה חסומה ב-, אז חסומה ב-.
2. אם לכל קטע הפונקציה רציפה ב-, אז רציפה ב-.
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה