האוניברסיטה הפתוחה · קורס 20474
פתרון מבחן — אינפי 1 / חדו"א 1, 2025ג מועד א
- 2025ג
- מועד א
- מס' מועד 83
- 20.10.2025
20.10.2025. פתרון מלא לכל השאלות — חלק ראשון (1-5, עונים על שלוש בלבד, ומבין 4 ו-5 רק על אחת; 25 נק' לשאלה) וחלק שני (6-10, רב-ברירה חובה; 5 נק' לשאלה). בכל סעיף שבו קיימות שתי דרכים שונות באמת מוצגות שתיהן.
10שאלות
מצב סימולציה: פתרו כל סעיף בעצמכם, חשפו את הפתרון, וסמנו אם צדקתם. ההתקדמות נשמרת במכשיר שלכם.
0/2 סעיפים נבדקו
25נק'
שאלה 1 — משפט ויירשטרס הראשון — רציפה בקטע סגור היא חסומה
1
הוכחת משפט ויירשטרס הראשון (משפט 5.35)
הוכיחו את המשפט הראשון של ויירשטרס (משפט 5.35):
פונקציה ממשית שהיא רציפה בקטע סגור , חסומה בקטע זה.
פונקציה ממשית שהיא רציפה בקטע סגור , חסומה בקטע זה.
תשובה
רציפה ב- חסומה ב-
!
מה הבודק מחפש — ולמה שני התנאים על הקטע הכרחיים
25נק'
שאלה 2 — מונוטוניות הגבול ומשפט ערך הביניים
א
הוכחת משפט 4.41 — גורר (10 נק')
א. (10 נק')
הוכיחו את משפט 4.41:
תהיינה פונקציות. אם הגבולות , קיימים, ואם קיימת סביבה נקובה של שבה מתקיים , אז .
הוכיחו את משפט 4.41:
תהיינה פונקציות. אם הגבולות , קיימים, ואם קיימת סביבה נקובה של שבה מתקיים , אז .
ב
מקבלת כל ערך חיובי אינסוף פעמים (15 נק')
ב. (15 נק')
הוכיחו שהפונקציה מקבלת בקטע כל ערך חיובי אינסוף פעמים.
כלומר יש להוכיח שלכל , למשוואה יש אינסוף פתרונות בקטע .
הוכיחו שהפונקציה מקבלת בקטע כל ערך חיובי אינסוף פעמים.
כלומר יש להוכיח שלכל , למשוואה יש אינסוף פתרונות בקטע .
25נק'
שאלה 3 — גבול לפי היינה, ופונקציה עם
א
לפי הגדרת היינה (10 נק')
א. (10 נק')
הגדרת הגבול בלשון סדרות (ניסוח Heine) (הגדרה 4.54):
אומרים כי אם לכל סדרה המקיימת מתקיים .
הוכיחו לפי הגדרת הגבול הזו: .
הגדרת הגבול בלשון סדרות (ניסוח Heine) (הגדרה 4.54):
אומרים כי אם לכל סדרה המקיימת מתקיים .
הוכיחו לפי הגדרת הגבול הזו: .
ב.1
גורר
ב. (15 נק')
תהי פונקציה רציפה בקטע וגזירה בקטע , המקיימת לכל .
(1) הוכיחו כי .
(הסעיפים אינם שווי משקל)
תהי פונקציה רציפה בקטע וגזירה בקטע , המקיימת לכל .
(1) הוכיחו כי .
(הסעיפים אינם שווי משקל)
ב.2
הוכיחו/הפריכו: מקבלת מקסימום ב-
(2) הוכיחו/הפריכו: מקבלת מקסימום בקטע .
הערה: בסעיף (2) מותר להשתמש בתוצאת סעיף (1), גם אם לא הוכחתם אותה.
הערה: בסעיף (2) מותר להשתמש בתוצאת סעיף (1), גם אם לא הוכחתם אותה.
25נק'
שאלה 4 — סדרות קרובות, וחסימות (רק ללומדי 2024)
א
ו- גוררים ? (10 נק')
לפניך שתי שאלות. ניתן לענות על שאלה אחת מבין השתיים בהתאם לסמסטר הלימוד שלך:
אם למדת את הקורס בסמסטר 2024א או 2024ב או 2024ג – יש לענות על שאלה מס' 4.
אם למדת את הקורס בסמסטר אחר (שנה 2025 או שנה 2023) – יש לענות על שאלה מס' 5.
לתשומת לבך! באחריות הסטודנט/ית להקפיד על בחירת השאלה המתאימה.
שאלה 4 (25 נקודות) – רק למי שלמד/ה את הקורס בשנה 2024
א. (10 נק')
הוכיחו או הפריכו:
יהיו סדרות המקיימות ו-. אז .
שאלה 4 (25 נקודות) – רק למי שלמד/ה את הקורס בשנה 2024
א. (10 נק')
הוכיחו או הפריכו:
יהיו סדרות המקיימות ו-. אז .
ב
האם חסומה ב-? (15 נק')
ב. (15 נק')
הוכיחו או הפריכו:
הפונקציה חסומה בקטע .
הוכיחו או הפריכו:
הפונקציה חסומה בקטע .
25נק'
שאלה 5 — סדרות קרובות, ורציפות במ"ש של (רק ללומדי 2025 / 2023)
א
ו- גוררים ? (10 נק')
שאלה 5 (25 נקודות) – רק למי שלמד/ה את הקורס בשנה 2025 או שנה 2023
א. (10 נק')
הוכיחו או הפריכו:
יהיו סדרות המקיימות ו-. אז .
א. (10 נק')
הוכיחו או הפריכו:
יהיו סדרות המקיימות ו-. אז .
ב
האם רציפה במידה שווה ב-? (15 נק')
ב. (15 נק')
הוכיחו או הפריכו:
הפונקציה רציפה במידה שווה בקטע .
הוכיחו או הפריכו:
הפונקציה רציפה במידה שווה בקטע .
5נק'
שאלה 6 — הגדרת הגבול עם במקום
6
רב-ברירה — אילו מהטענות נכונות?
חלק שני — שאלות 6-10, שאלות חובה. ענו על כל חמש השאלות. בכל שאלה יש תשובה נכונה אחת בדיוק. סמנו את התשובה בעמוד האחרון של מחברת הבחינה במקום המיועד לכך. לא נדרש נימוק, רק סימון במחברת מהי התשובה הנכונה.
1. אם אז לכל קיים טבעי כך שלכל מתקיים .
2. אם לכל קיים טבעי כך שלכל מתקיים , אז .
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה.
1. אם אז לכל קיים טבעי כך שלכל מתקיים .
2. אם לכל קיים טבעי כך שלכל מתקיים , אז .
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה.
5נק'
שאלה 7 — פונקציה גזירה מתחת ל-
7
רב-ברירה — אילו מהטענות נכונות?
תהי פונקציה גזירה ב- המקיימת לכל .
1. חסומה מלרע ב-.
2. קיימת נקודה כך ש-.
3. קיימת נקודה כך ש-.
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 3 ד. 1,2 ה. 1,3 ו. 2,3 ז. 1,2,3 ח. אף טענה אינה נכונה.
1. חסומה מלרע ב-.
2. קיימת נקודה כך ש-.
3. קיימת נקודה כך ש-.
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 3 ד. 1,2 ה. 1,3 ו. 2,3 ז. 1,2,3 ח. אף טענה אינה נכונה.
5נק'
שאלה 8 — רציפות של ב-
8
רב-ברירה — עבור אילו ערכי הפונקציה רציפה ב-?
תהי .
1. אם אז רציפה ב-.
2. אם אז רציפה ב-.
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה
1. אם אז רציפה ב-.
2. אם אז רציפה ב-.
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה
!
מדוע כל מסיח נופל
5נק'
שאלה 9 — ולגראנז', וגבול עם פונקציה חסומה
9
רב-ברירה — אילו מהטענות נכונות?
1. לכל מתקיים: .
2. קיימת פונקציה חסומה ב- כך ש-.
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה.
2. קיימת פונקציה חסומה ב- כך ש-.
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה.
5נק'
שאלה 10 — חד-חד-ערכיות מול
10
רב-ברירה — אילו מהטענות נכונות?
תהי פונקציה גזירה בקטע .
1. אם חח"ע ב- אז לכל .
2. אם לכל אז חח"ע ב-.
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה
1. אם חח"ע ב- אז לכל .
2. אם לכל אז חח"ע ב-.
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה
!