שתי דרכים שונות באמת, ושתיהן חייבות לנצל את שתי התכונות של הקטע — שהוא חסום ושהוא סגור.
דרך 1 (סדרתית) — שלילת ההגדרה, בניית שני "עדים" לכל , ואז בולצאנו-ויירשטרס אפיון היינה.
דרך 2 (סופרמום) — בלי סדרות בכלל: מקבעים , מגדירים את קבוצת הנקודות שעד אליהן כבר קיים אחיד, ומראים באמצעות אקסיומת השלמות שהקבוצה הזו מגיעה עד .
דרך 1 — שלילה בולצאנו-ויירשטרס היינה
שלב 1 — הנחת השלילה. נניח בשלילה ש- אינה רציפה במידה שווה ב-. שלילת ההגדרה שלמעלה היא:
שלב 2 — בניית שתי סדרות. נפעיל את שלב 1 עם לכל . נקבל שתי סדרות בתוך המקיימות לכל :
שלב 3 — בולצאנו-ויירשטרס (כאן נכנסת חסימות הקטע). לכל מתקיים , ולכן חסומה. לפי המשפט קיימת לה תת-סדרה מתכנסת:
שלב 4 — הגבול נשאר בקטע (כאן נכנסת סגירות הקטע). מעבר לגבול באי-שוויונות החלשים נותן
ולכן מוגדרת ורציפה ב-. אילו היה הקטע פתוח, הייתה עלולה ליפול מחוץ לתחום — ושם ההוכחה נשברת.
שלב 5 — גם מתכנסת לאותה נקודה. לפי אי-שוויון המשולש:
ולכן .
שלב 6 — אפיון היינה. רציפה ב-, ולכן
שלב 7 — הסתירה. מאריתמטיקה של גבולות ומרציפות הערך המוחלט:
אך לפי שלב 2 מתקיים לכל , ולכן הגבול חייב להיות . סתירה.
מסקנה. הנחת השלילה אינה יכולה להתקיים, ולכן רציפה במידה שווה ב-.
דרך 2 — אקסיומת השלמות: סופרמום של קבוצת הנקודות ה"טובות"
דרך זו אינה משתמשת בסדרות ואינה משתמשת בבולצאנו-ויירשטרס — רק באקסיומת השלמות וברציפות נקודתית.
שלב 1 — קיבוע והגדרת הקבוצה. יהי נתון וקבוע עד סוף ההוכחה. נגדיר
כלומר היא קבוצת הנקודות שעבורן כבר קיים אחיד על הקטע .
שלב 2 — אינה ריקה וחסומה מלעיל. (הקטע — כל מתאים, שכן ), וכן ולכן חסם מלעיל. לפי אקסיומת השלמות קיים
שלב 3 — חסם מקומי מרציפות ב-. , ולכן רציפה ב-. נפעיל את ההגדרה עם : קיים כך שלכל עם מתקיים . לכן, לפי אי-שוויון המשולש, לכל בסביבה הזו:
שלב 4 — בחירת נקודה של קרוב ל-. מכיוון ש- ו-, המספר אינו חסם מלעיל של , ולכן קיים עם . יהי ה- המתאים ל- מהגדרת .
שלב 5 — דחיפה ימינה. נסמן
ונראה ש- עם ה- הזה. יהיו עם , ונניח בלי הגבלת הכלליות .
מקרה 1: . אז ו-, ולכן לפי הגדרת מתקיים .
מקרה 2: . אז ומצד שני , ולכן . כמו כן וגם , ולכן . שתי הנקודות בסביבה של שלב 3, ומכאן .
בשני המקרים , ולכן .
שלב 6 — מסקנה . אילו היה היינו מקבלים עם — סתירה. לכן , ואז , כלומר
שלב 7 — סיום. פירושו שקיים המשרת את כל עבור ה- שקבענו. מכיוון ש- היה שרירותי, רציפה במידה שווה ב-.