האוניברסיטה הפתוחה · קורס 20474
פתרון מבחן — אינפי 1 / חדו"א 1, 2025א מועד א1
- 2025א
- מועד א1
- מס' מועד 81
- 05.02.2025
מועד 81, 05.02.2025. פתרון מלא לכל עשר השאלות — חלק ראשון (1-5, עונים על שלוש בלבד, ומבין 4 ו-5 רק על אחת — לפי סמסטר הלימוד; 25 נק' לשאלה) וחלק שני (6-10, חובה, רב-ברירה, 5 נק' לשאלה). בכל סעיף שבו קיימות שתי דרכים שונות באמת מוצגות שתיהן; ובשאלות הרב-ברירה כל מסיח מנותח בנפרד.
10שאלות
מצב סימולציה: פתרו כל סעיף בעצמכם, חשפו את הפתרון, וסמנו אם צדקתם. ההתקדמות נשמרת במכשיר שלכם.
0/2 סעיפים נבדקו
25נק'
שאלה 1 — משפט ויירשטרס השני — פונקציה רציפה בקטע סגור מקבלת מקסימום
1
הוכחת המשפט השני של ויירשטרס (משפט 5.37)
הוכיחו את המשפט השני של ויירשטרס (משפט 5.37):
פונקציה רציפה בקטע סגור מקבלת בו מינימום ומקסימום.
מספיק להוכיח רק את קיום המקסימום.
פונקציה רציפה בקטע סגור מקבלת בו מינימום ומקסימום.
מספיק להוכיח רק את קיום המקסימום.
תשובה
רציפה ב-
!
מה הבודק מחפש — ואיפה המשפט נשבר
25נק'
שאלה 2 — חסימות סדרה מתכנסת; פונקציה רציפה עם
א
הוכחת משפט 2.16 — כל סדרה מתכנסת חסומה (10 נק')
א. (10 נק')
הוכיחו את משפט 2.16:
כל סדרה מתכנסת היא חסומה.
הוכיחו את משפט 2.16:
כל סדרה מתכנסת היא חסומה.
ב
ורציפות גוררות (15 נק')
ב. (15 נק')
תהי פונקציה רציפה ב- המקיימת לכל .
הוכיחו כי או .
הדרכה: תחילה הוכיחו כי חיובית ב- או שלילית ב-.
תהי פונקציה רציפה ב- המקיימת לכל .
הוכיחו כי או .
הדרכה: תחילה הוכיחו כי חיובית ב- או שלילית ב-.
25נק'
שאלה 3 — גבול לפי הגדרת ; פונקציה עם מעל משיקיה
א
לפי הגדרה 4.28 (10 נק')
א. (10 נק')
הוכיחו לפי הגדרת הגבול בלשון (הגדרה 4.28) את הגבול:
הוכיחו לפי הגדרת הגבול בלשון (הגדרה 4.28) את הגבול:
ב
גוררת (15 נק')
ב. (15 נק')
תהי פונקציה גזירה פעמיים בקטע כך שלכל מתקיים .
הוכיחו שלכל שתי נקודות שונות מתקיים .
הערה: יש להתייחס בנפרד למקרה ולמקרה .
תהי פונקציה גזירה פעמיים בקטע כך שלכל מתקיים .
הוכיחו שלכל שתי נקודות שונות מתקיים .
הערה: יש להתייחס בנפרד למקרה ולמקרה .
25נק'
שאלה 4 — רק למי שלמד בסמסטר 2024א/ב/ג — ; חסימות
א
הוכיחו/הפריכו: (10 נק')
שאלה 4 (25 נקודות) - רק למי שלמד/ה את הקורס בסמסטר 2024א/ב/ג
א. (10 נק')
הוכיחו/הפריכו:
יהיו סדרות כך שמתקיים . אז .
א. (10 נק')
הוכיחו/הפריכו:
יהיו סדרות כך שמתקיים . אז .
ב
הוכיחו או הפריכו: חסומה ב- (15 נק')
ב. (15 נק')
הוכיחו או הפריכו:
הפונקציה חסומה בקטע .
הוכיחו או הפריכו:
הפונקציה חסומה בקטע .
25נק'
שאלה 5 — רק למי שלמד בסמסטר אחר — ; רציפות במ"ש של
א
הוכיחו/הפריכו: (10 נק')
שאלה 5 (25 נקודות) - רק למי שלמד/ה את הקורס בסמסטר אחר (שנה 2023 או סמסטר 2025)
א. (10 נק')
הוכיחו/הפריכו:
יהיו סדרות כך שמתקיים . אז .
א. (10 נק')
הוכיחו/הפריכו:
יהיו סדרות כך שמתקיים . אז .
ב
הוכיחו או הפריכו: רציפה במידה שווה ב- (15 נק')
ב. (15 נק')
הוכיחו או הפריכו:
הפונקציה רציפה במידה שווה בקטע .
הוכיחו או הפריכו:
הפונקציה רציפה במידה שווה בקטע .
5נק'
שאלה 6 — קבוצות צפופות — מעבר לקבוצה גדולה יותר ולקטנה יותר
6
רב-ברירה — צפיפות של ושל
נאמר שקבוצה צפופה בקטע אם לכל כך ש- קיים כך ש-.
1. אם צפופה ב- ו- אז צפופה ב-.
2. אם צפופה ב- ו- אז צפופה ב-.
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה.
1. אם צפופה ב- ו- אז צפופה ב-.
2. אם צפופה ב- ו- אז צפופה ב-.
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה.
5נק'
שאלה 7 — פעולות על פונקציות חסומות מלעיל
7
רב-ברירה — , ,
תהיינה פונקציות חסומות מלעיל בקטע , .
1. חסומה מלעיל ב-.
2. חסומה מלעיל ב-.
3. חסומה מלעיל ב-.
הטענות הנכונות הן:
א. 1 ב. 2 ג. 3 ד. 1,2 ה. 1,3 ו. 2,3 ז. 1,2,3 ח. אף טענה אינה נכונה.
1. חסומה מלעיל ב-.
2. חסומה מלעיל ב-.
3. חסומה מלעיל ב-.
הטענות הנכונות הן:
א. 1 ב. 2 ג. 3 ד. 1,2 ה. 1,3 ו. 2,3 ז. 1,2,3 ח. אף טענה אינה נכונה.
5נק'
שאלה 8 — רציפות ב- של פונקציה מפוצלת עם פרמטר
8
רב-ברירה — עבור אילו הפונקציה רציפה ב-?
תהי
א. עבור , רציפה ב-.
ב. עבור , רציפה ב-.
ג. אף אחת מהטענות הנ"ל אינה נכונה.
א. עבור , רציפה ב-.
ב. עבור , רציפה ב-.
ג. אף אחת מהטענות הנ"ל אינה נכונה.
5נק'
שאלה 9 — ומשפט לגראנז'; פונקציה חסומה עם גבול נתון באינסוף
9
רב-ברירה — ? וקיום חסומה
1. לכל מתקיים: .
2. קיימת פונקציה חסומה ב- כך ש-.
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה.
2. קיימת פונקציה חסומה ב- כך ש-.
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה.
5נק'
שאלה 10 — מתכונות בכל תת-קטע סגור לתכונות ב-
10
רב-ברירה — חסימות ורציפות
תהי פונקציה המוגדרת בקטע .
1. אם לכל קטע הפונקציה חסומה ב-, אז חסומה ב-.
2. אם לכל קטע הפונקציה רציפה ב-, אז רציפה ב-.
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה.
1. אם לכל קטע הפונקציה חסומה ב-, אז חסומה ב-.
2. אם לכל קטע הפונקציה רציפה ב-, אז רציפה ב-.
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה.