האוניברסיטה הפתוחה · קורס 20474
פתרון מבחן — אינפי 1 / חדו"א 1, 2025ב מועד ב
- 2025ב
- מועד ב
- מס' מועד 96
- 08.09.2025
08.09.2025. פתרון מלא לכל השאלות — חלק ראשון (1-5, עונים על שלוש בלבד, ומבין 4 ו-5 רק על אחת; 25 נק' לשאלה) וחלק שני (6-10, רב-ברירה חובה; 5 נק' לשאלה). בכל סעיף שבו קיימות שתי דרכים שונות באמת מוצגות שתיהן.
10שאלות
מצב סימולציה: פתרו כל סעיף בעצמכם, חשפו את הפתרון, וסמנו אם צדקתם. ההתקדמות נשמרת במכשיר שלכם.
0/2 סעיפים נבדקו
25נק'
שאלה 1 — משפט בולצאנו-ויירשטרס — לכל סדרה חסומה יש תת-סדרה מתכנסת
1
הוכחת משפט בולצאנו-ויירשטרס (משפט 3.32)
הוכיחו את משפט בולצאנו-ויירשטרס (משפט 3.32):
לכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת.
לכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת.
תשובה
חסומה מתכנסת
!
מה הבודק מחפש
25נק'
שאלה 2 — רציפות של הרכבה ומשפט ערך הביניים
א
הוכחת משפט 5.15 — הרכבה של רציפות רציפה (10 נק')
א. (10 נק')
הוכיחו את משפט 5.15:
אם רציפה ב- ואם רציפה ב-, אז רציפה ב-.
הוכיחו את משפט 5.15:
אם רציפה ב- ואם רציפה ב-, אז רציפה ב-.
ב
גורר ש- אינה חח"ע (15 נק')
ב. (15 נק')
תהי פונקציה רציפה בקטע המקיימת .
הוכיחו כי אינה חד-חד-ערכית ב-.
הדרכה: כדאי להפריד לשני מקרים: קבועה ב-, אינה קבועה ב-.
תהי פונקציה רציפה בקטע המקיימת .
הוכיחו כי אינה חד-חד-ערכית ב-.
הדרכה: כדאי להפריד לשני מקרים: קבועה ב-, אינה קבועה ב-.
!
מה הבודק מחפש
25נק'
שאלה 3 — גבול נקודתי מול סופרמום —
1
הגבול כאשר עבור קבוע
(1) עבור כל , חשבו את .
הערה: מדובר בגבול של סדרה. מופיע בה כמספר קבוע (פרמטר). התוצאה יכולה להיות תלויה ב-.
(הסעיפים אינם שווי משקל)
הערה: מדובר בגבול של סדרה. מופיע בה כמספר קבוע (פרמטר). התוצאה יכולה להיות תלויה ב-.
(הסעיפים אינם שווי משקל)
2
עבור קבוע
(2) נסמן בקטע , כאשר .
הערה: זו פונקציה בקטע . מופיע בה כמספר קבוע (פרמטר).
חשבו את .
הערה: התוצאה היא מספר שיכול להיות תלוי ב-.
רמז: חקרו את הפונקציה בקטע , מצאו את .
הערה: זו פונקציה בקטע . מופיע בה כמספר קבוע (פרמטר).
חשבו את .
הערה: התוצאה היא מספר שיכול להיות תלוי ב-.
רמז: חקרו את הפונקציה בקטע , מצאו את .
25נק'
שאלה 4 — רק למי שלמד את הקורס בסמסטר 2024א/ב/ג — וחסימות
א
האם ? (10 נק')
שאלה 4 (25 נקודות) — רק למי שלמד/ה את הקורס בסמסטר 2024א/ב/ג
א. (10 נק')
הוכיחו או הפריכו:
תהי סדרה חיובית ומתכנסת, ונסמן . אז .
א. (10 נק')
הוכיחו או הפריכו:
תהי סדרה חיובית ומתכנסת, ונסמן . אז .
ב
האם חסומה ב-? (15 נק')
ב. (15 נק')
הוכיחו או הפריכו:
הפונקציה חסומה בקטע .
הוכיחו או הפריכו:
הפונקציה חסומה בקטע .
25נק'
שאלה 5 — רק למי שלמד את הקורס בסמסטר אחר (2025 או 2023) — ורציפות במידה שווה
א
האם ? (10 נק') — זהה לשאלה 4א
שאלה 5 (25 נקודות) — רק למי שלמד/ה את הקורס בסמסטר אחר (שנה 2025 או שנה 2023)
א. (10 נק')
הוכיחו או הפריכו:
תהי סדרה חיובית ומתכנסת, ונסמן . אז .
א. (10 נק')
הוכיחו או הפריכו:
תהי סדרה חיובית ומתכנסת, ונסמן . אז .
ב
האם רציפה במידה שווה ב-? (15 נק')
ב. (15 נק')
הוכיחו או הפריכו:
הפונקציה רציפה במידה שווה בקטע .
הוכיחו או הפריכו:
הפונקציה רציפה במידה שווה בקטע .
5נק'
שאלה 6 — הגדרת הגבול עם
6
רב-ברירה — אילו מהטענות נכונות?
1. אם אז לכל טבעי קיים טבעי כך שלכל מתקיים .
2. אם לכל טבעי קיים טבעי כך שלכל מתקיים אז .
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה
2. אם לכל טבעי קיים טבעי כך שלכל מתקיים אז .
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה
!
מדוע כל מסיח נופל
5נק'
שאלה 7 — — רציפות בקטעים
7
רב-ברירה — אילו מהטענות נכונות?
תהי .
1. רציפה בקטע .
2. רציפה בקטע .
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה
1. רציפה בקטע .
2. רציפה בקטע .
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה
!
מדוע כל מסיח נופל
5נק'
שאלה 8 — — רציפות ב-
8
רב-ברירה — אילו מהטענות נכונות?
תהי .
1. אם אז רציפה ב-.
2. אם אז רציפה ב-.
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה
1. אם אז רציפה ב-.
2. אם אז רציפה ב-.
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה
!
מדוע כל מסיח נופל
5נק'
שאלה 9 — אי-שוויון עם , וגזירות של
9
רב-ברירה — אילו מהטענות נכונות?
1. לכל מתקיים .
2. קיימת פונקציה גזירה ב- כך ש- חיובית וגזירה ב-.
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה
2. קיימת פונקציה גזירה ב- כך ש- חיובית וגזירה ב-.
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה
!
מדוע כל מסיח נופל
5נק'
שאלה 10 — תכונות שנשמרות בכל — חסימות ורציפות
10
רב-ברירה — אילו מהטענות נכונות?
תהי פונקציה המוגדרת בקטע .
1. אם לכל קטע הפונקציה חסומה ב-, אז חסומה ב-.
2. אם לכל קטע הפונקציה רציפה ב-, אז רציפה ב-.
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה
1. אם לכל קטע הפונקציה חסומה ב-, אז חסומה ב-.
2. אם לכל קטע הפונקציה רציפה ב-, אז רציפה ב-.
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה
!