דילוג לתוכן הראשי
עב
חיפוש נוסחה...
הכול
רק מה שהכי שווה
⭐ שלי
הדפסה
דף נוסחאות · חשבון אינפיניטסימלי 1
20474
119 נוסחאות
באדום:
החלק של כל יחידה מהנקודות ב-36 מבחנים פתורים.
1 · המספרים הממשיים
7% מהמבחן
זהויות ואי-שוויונות בסיסיים
☆
נוסחת הבינום של ניוטון
גללו לשאר הנוסחה ↔
נכון לכל
טבעי ולכל
ממשיים
☆
סכום סדרה הנדסית
גללו לשאר הנוסחה ↔
עבור
הסכום הוא פשוט
☆
אי-שוויון ברנולי
גללו לשאר הנוסחה ↔
מוכח באינדוקציה; שימושי מאוד בחסימת סדרות
☆
אי-שוויון המשולש
גללו לשאר הנוסחה ↔
הגרסה השנייה נקראת לעיתים אי-שוויון המשולש ההפוך
☆
ערך מוחלט כמרחק
גללו לשאר הנוסחה ↔
הוא המרחק בין
ל-
על הישר
שלמות ותוצאותיה
☆
קיום שורש
-י חיובי
משפט 1.53
גללו לשאר הנוסחה ↔
נובע מאקסיומת השלמות; היחידות מתקבלת מהמונוטוניות של
☆
אי-שוויון הממוצעים
משפט 1.59
גללו לשאר הנוסחה ↔
הרמוני
הנדסי
חשבוני; שוויון רק כשכל
ה-
שווים
☆
תכונת ארכימדס
משפט 1.60
גללו לשאר הנוסחה ↔
אין מספר ממשי שגדול מכל הטבעיים
☆
מסקנה מתכונת ארכימדס
משפט 1.61
גללו לשאר הנוסחה ↔
הכלי שבזכותו
☆
החלק השלם
גללו לשאר הנוסחה ↔
ובאופן שקול
☆
צפיפות הרציונליים
משפט 1.66
גללו לשאר הנוסחה ↔
גם האי-רציונליים צפופים: למשל
מתאים
2 · סדרות וגבולות
14% מהמבחן
הגדרת הגבול ותכונות ראשונות
☆
הגדרת הגבול (
–
)
משפט 2.9
גללו לשאר הנוסחה ↔
כלומר: כמעט כל איברי הסדרה נמצאים בכל סביבה של
☆
מתכנסת
חסומה
משפט 2.16
גללו לשאר הנוסחה ↔
הכיוון ההפוך לא נכון:
חסומה ומתבדרת
☆
אפסה כפול חסומה
משפט 2.22
גללו לשאר הנוסחה ↔
למשל
;
אין צורך
של-
יהיה גבול
☆
אריתמטיקה של גבולות
משפט 2.28
גללו לשאר הנוסחה ↔
רק כששני הגבולות קיימים וסופיים
רק כששני הגבולות קיימים וסופיים (ובמנה
B≠0
)!
☆
שמירת סדר בגבול
כמעט לכל
גללו לשאר הנוסחה ↔
אי-שוויון חזק לא נשמר:
אבל הגבול
☆
כלל הסנדוויץ'
משפט 2.32
גללו לשאר הנוסחה ↔
מספיק שהאי-שוויונות יתקיימו כמעט לכל
גבולות יסודיים
☆
סדרה הנדסית
גללו לשאר הנוסחה ↔
עבור
ו-
הסדרה מתבדרת
☆
שורש
-י של קבוע ושל
גללו לשאר הנוסחה ↔
שימושי יחד עם סנדוויץ', למשל
☆
חזקה מול מעריכית
גללו לשאר הנוסחה ↔
כל מעריכית עם בסיס גדול
מ-
גוברת על כל חזקה
☆
מבחן המנה לגבולות
משפט 2.48
גללו לשאר הנוסחה ↔
אם
והמנה שואפת לגבול
(או
ל-
),
אז
;
עבור
אין מסקנה
☆
סדר גודל של סדרות
גללו לשאר הנוסחה ↔
פירושו
;
כל מעבר מוכח במבחן המנה
☆
ממוצעים חשבוניים (צ'זארו)
גללו לשאר הנוסחה ↔
נכון גם עבור
;
הכיוון ההפוך לא נכון
☆
ממוצעים הנדסיים
גללו לשאר הנוסחה ↔
מסקנה: אם
ו-
אז
גבולות במובן הרחב
☆
שאיפה לאינסוף
משפט 2.36
גללו לשאר הנוסחה ↔
סדרה כזו אינה חסומה ולכן מתבדרת (במובן הצר)
☆
אריתמטיקה של גבולות אינסופיים
משפט 2.43
גללו לשאר הנוסחה ↔
וגם: אם
ו-
אז
;
(
= גבול סופי)
☆
ביטויים לא מוגדרים
גללו לשאר הנוסחה ↔
אין כלל — צריך לפשט (הוצאת גורם משותף, כפל בצמוד וכו')
☆
השוואה לאינסוף
,
כמעט לכל
גללו לשאר הנוסחה ↔
ובאופן סימטרי עבור
3 · קבוצות וסדרות חסומות
23% מהמבחן
חסם עליון וחסם תחתון
☆
תכונת החסם העליון
משפט 3.6
חסומה מלעיל
קיים
גללו לשאר הנוסחה ↔
= החסם מלעיל הקטן ביותר; ובאופן דומה
לקבוצה חסומה מלרע
☆
אפיון הסופרמום
גללו לשאר הנוסחה ↔
התנאי השני: אין חסם מלעיל קטן יותר
☆
אפיון האינפימום
משפט 3.11
גללו לשאר הנוסחה ↔
אם
ל-
יש מינימום אז
☆
כללי חישוב
גללו לשאר הנוסחה ↔
,
;
לא ריקות וחסומות מלעיל
סדרות מונוטוניות
☆
משפט ההתכנסות המונוטונית
משפט 3.16
,
חסומה מלעיל
;
,
חסומה מלרע
גללו לשאר הנוסחה ↔
עולה ולא חסומה
שואפת
ל-
:
כל סדרה מונוטונית מתכנסת במובן הרחב
☆
המספר
גללו לשאר הנוסחה ↔
הסדרה עולה וחסומה (למשל
ב-
),
ולכן מתכנסת
☆
הלמה של קנטור (קטעים מקוננים)
משפט 3.22
גללו לשאר הנוסחה ↔
חובה קטעים סגורים: לקטעים פתוחים החיתוך יכול להיות ריק
רק לקטעים סגורים: בפתוחים החיתוך יכול להיות ריק!
תת-סדרות, בולצאנו-ויירשטראס וקושי
☆
תת-סדרה של סדרה מתכנסת
משפט 3.25
לכל תת-סדרה
גללו לשאר הנוסחה ↔
שימוש נפוץ: שתי תת-סדרות עם גבולות שונים
הסדרה מתבדרת
☆
אפיון גבול חלקי
גבול חלקי
:
לאינסוף
גללו לשאר הנוסחה ↔
גבול חלקי = גבול של תת-סדרה כלשהי
☆
משפט בולצאנו-ויירשטראס
משפט 3.32
חסומה
תת-סדרה מתכנסת
גללו לשאר הנוסחה ↔
וכל סדרה (גם לא חסומה) יש לה תת-סדרה מתכנסת במובן הרחב
☆
התכנסות דרך גבול חלקי יחיד
משפט 3.34
חסומה:
מתכנסת
יש לה גבול חלקי אחד בדיוק
גללו לשאר הנוסחה ↔
החסימות הכרחית:
ל-
יש גבול חלקי סופי יחיד
(
)
והיא מתבדרת
☆
תנאי קושי
משפט 3.35
גללו לשאר הנוסחה ↔
לא מופיע הגבול עצמו — זה היתרון
☆
קריטריון קושי
משפט 3.36
מתכנסת
סדרת קושי
גללו לשאר הנוסחה ↔
לשלילה: מספיק למצוא
וזוגות
גדולים כרצוננו עם
גבול עליון וגבול תחתון
☆
הגדרה לסדרה חסומה
משפט 3.39
{גבולות חלקיים},
{גבולות חלקיים}
גללו לשאר הנוסחה ↔
לסדרה חסומה יש גבול חלקי מקסימלי ומינימלי, ולכן ההגדרה תקינה
☆
סדרה כלשהי (במובן הרחב)
לא חסומה מלעיל
;
לא חסומה מלרע
גללו לשאר הנוסחה ↔
לכל סדרה יש גבול חלקי גדול/קטן ביותר במובן הרחב (ייתכן
)
☆
lim sup אינו sup
גללו לשאר הנוסחה ↔
לסדרה חסומה; למשל
:
אבל
☆
התכנסות דרך lim sup ו-lim inf
חסומה:
גללו לשאר הנוסחה ↔
נובע ישירות מאפיון ההתכנסות דרך גבול חלקי יחיד
☆
תכונות הגבול העליון
כמעט לכל
;
לאינסוף
גללו לשאר הנוסחה ↔
לסדרות חסומות; וגם
4 · גבולות של פונקציות
3% מהמבחן
הגדרות הגבול
☆
הגדרת קושי (
–
)
משפט 4.27
גללו לשאר הנוסחה ↔
מוגדרת בסביבה נקובה של
;
הערך
לא משחק תפקיד
☆
הגדרת היינה (סדרות)
משפט 4.29
גללו לשאר הנוסחה ↔
שקולה להגדרת קושי; נוחה להוכחת אי-קיום גבול (שתי סדרות, שני גבולות)
☆
גבול דו-צדדי וחד-צדדיים
גללו לשאר הנוסחה ↔
בגבול מימין דורשים רק
☆
גבול באינסוף
גללו לשאר הנוסחה ↔
ובאופן דומה עבור
☆
גבול אינסופי בנקודה
גללו לשאר הנוסחה ↔
גבול אינסופי מימין או משמאל — אסימפטוטה אנכית
כללי חישוב
☆
אריתמטיקה של גבולות
משפט 4.38
גללו לשאר הנוסחה ↔
כאשר
קיימים וסופיים
☆
כלל הסנדוויץ' לפונקציות
משפט 4.43
בסביבת
,
גללו לשאר הנוסחה ↔
האי-שוויון נדרש רק בסביבה נקובה של
☆
גבול של הרכבה (הצבה)
,
בסביבת
גללו לשאר הנוסחה ↔
אם
רציפה
ב-
אין צורך בתנאי
☆
אריתמטיקה של גבולות אינסופיים
משפט 4.53
גללו לשאר הנוסחה ↔
ו-
עם
;
הביטויים
לא מוגדרים
גבולות יסודיים
☆
הגבול הטריגונומטרי היסודי
גללו לשאר הנוסחה ↔
נובע מסנדוויץ' על
עבור
☆
גבול הקוסינוס
גללו לשאר הנוסחה ↔
כפל בצמוד:
☆
אי-שוויון הסינוס
גללו לשאר הנוסחה ↔
נותן מיד
כאשר
☆
פונקציה רציונלית באינסוף
גללו לשאר הנוסחה ↔
מחלקים בחזקה הגבוהה ביותר של המכנה; הסימן
ב-
לפי
5 · פונקציות רציפות
35% מהמבחן
רציפות בנקודה
☆
הגדרת רציפות
משפט 5.2
רציפה
ב-
גללו לשאר הנוסחה ↔
שלושה תנאים:
מוגדר, הגבול קיים, והם שווים
☆
רציפות —
–
והיינה
גללו לשאר הנוסחה ↔
כאן אין צורך
ב-
(או
)
☆
אריתמטיקה של רציפות
משפט 5.11
רציפות
ב-
,
רציפות
ב-
גללו לשאר הנוסחה ↔
לכן פולינומים, פונקציות רציונליות
ו-
רציפות בתחום הגדרתן
☆
רציפות של הרכבה
משפט 5.15
רציפה
ב-
,
רציפה
ב-
רציפה
ב-
גללו לשאר הנוסחה ↔
ובפרט
כאשר
רציפה בגבול
☆
סיווג נקודות אי-רציפות
סליקה:
;
מסוג ראשון:
סופיים; מסוג שני: אחרת
גללו לשאר הנוסחה ↔
סליקה; ממין ראשון (קפיצה); ממין שני — לפחות גבול חד-צדדי אחד לא קיים (או אינסופי)
פונקציות רציפות בקטע
☆
משפט ערך הביניים
משפט 5.31
,
בין
גללו לשאר הנוסחה ↔
מקרה פרטי (בולצאנו):
קיים
עם
☆
שורש לפולינום ממעלה אי-זוגית
אי-זוגית
גללו לשאר הנוסחה ↔
הגבולות
ב-
בסימנים הפוכים + ערך הביניים
☆
נקודת שבת
רציפה
גללו לשאר הנוסחה ↔
מפעילים ערך ביניים על
☆
משפט ויירשטראס הראשון
משפט 5.35
חסומה
ב-
גללו לשאר הנוסחה ↔
הקטע חייב להיות סגור וחסום:
על
לא חסומה
רק בקטע סגור וחסום:
1/x
על
(0,1]
לא חסומה!
☆
משפט ויירשטראס השני
משפט 5.37
גללו לשאר הנוסחה ↔
מקבלת מינימום ומקסימום; התמונה היא קטע סגור
☆
רציפות הפונקציה ההפוכה
משפט 5.43
מונוטונית ממש ורציפה
ב-
רציפה
ב-
גללו לשאר הנוסחה ↔
ו-
מונוטונית באותו כיוון; כך מתקבלות
☆
פונקציה מונוטונית
מונוטונית
ב-
כל אי-רציפות היא מסוג ראשון (קפיצה)
גללו לשאר הנוסחה ↔
בכל נקודה פנימית הגבולות החד-צדדיים קיימים וסופיים
רציפות במידה שווה
☆
הגדרה
משפט 5.46
גללו לשאר הנוסחה ↔
ה-
תלוי רק
ב-
ולא בנקודה
☆
שלילת רציפות במידה שווה
:
אבל
גללו לשאר הנוסחה ↔
למשל
על
:
☆
משפט קנטור
משפט 5.48
רציפה במידה שווה
ב-
גללו לשאר הנוסחה ↔
על קטע סגור וחסום רציפות ורציפות במידה שווה שקולות
☆
קטע פתוח
רציפה במידה שווה
ב-
וגם
,
קיימים (סופיים)
גללו לשאר הנוסחה ↔
לקטע פתוח וחסום; לכן
על
אינה רציפה במידה שווה
☆
תנאי ליפשיץ
גללו לשאר הנוסחה ↔
בוחרים
;
נגזרת חסומה נותנת תנאי כזה (לגראנז')
6 · פונקציות מעריכיות
1% מהמבחן
חזקות ממשיות
☆
הגדרת חזקה ממשית
משפט 6.7
גללו לשאר הנוסחה ↔
הגבול לא תלוי בבחירת הסדרה; עבור
:
☆
חוקי החזקות
משפט 6.8
גללו לשאר הנוסחה ↔
עבור
ו-
ממשיים
☆
מונוטוניות וגבולות של
משפט 6.9
גללו לשאר הנוסחה ↔
רציפה בכל הישר ותמונתה
לוגריתמים
☆
הגדרת הלוגריתם
משפט 6.12
גללו לשאר הנוסחה ↔
היא הפונקציה ההפוכה
ל-
☆
חוקי הלוגריתמים
משפט 6.13
גללו לשאר הנוסחה ↔
עבור
(ובמעבר בסיס
);
☆
מעבר לבסיס
גללו לשאר הנוסחה ↔
הצורה השנייה היא המפתח לגבולות ונגזרות של
☆
גבולות של
גללו לשאר הנוסחה ↔
עולה ורציפה על
גבולות מהצורה
☆
רציפות החזקה בשני המשתנים
גללו לשאר הנוסחה ↔
לא חל
כש-
ו-
— זה בדיוק המקרה
☆
הגבול של
לפונקציות
גללו לשאר הנוסחה ↔
הכללה של הגדרת
דרך סדרה
☆
הכללת גבול
משפט 6.19
גללו לשאר הנוסחה ↔
למשל
☆
טריק
גללו לשאר הנוסחה ↔
כותבים
(
)
☆
לוגריתם מול חזקה מול מעריכית
גללו לשאר הנוסחה ↔
סדר הגדילה:
7 · הנגזרת
3% מהמבחן
הגדרה ומשמעות
☆
הגדרת הנגזרת
משפט 7.7
גללו לשאר הנוסחה ↔
גזירה
ב-
אם הגבול קיים וסופי
☆
גזירה
רציפה
משפט 7.9
גזירה
ב-
רציפה
ב-
גללו לשאר הנוסחה ↔
ההפך לא נכון:
רציפה
ב-
ואינה גזירה שם
☆
נגזרות חד-צדדיות
גזירה
ב-
וגם
קיימות ושוות
גללו לשאר הנוסחה ↔
— לבדיקת פונקציות מוגדרות למקוטעין
☆
משוואת המשיק
גללו לשאר הנוסחה ↔
השיפוע של המשיק בנקודה הוא
☆
קירוב לינארי ודיפרנציאל
גללו לשאר הנוסחה ↔
השגיאה היא
:
היא קטנה
מ-
כש-
כללי גזירה
☆
סכום וכפל בקבוע
משפט 7.13
גללו לשאר הנוסחה ↔
הגזירה היא פעולה לינארית
☆
נגזרת המכפלה
משפט 7.14
גללו לשאר הנוסחה ↔
ולשלוש פונקציות:
☆
נגזרת המנה
משפט 7.18
גללו לשאר הנוסחה ↔
מקרה פרטי:
☆
כלל השרשרת
משפט 7.21
גללו לשאר הנוסחה ↔
גזירה
ב-
ו-
גזירה
ב-
☆
נגזרת הפונקציה ההפוכה
גללו לשאר הנוסחה ↔
מונוטונית ורציפה בקטע
ו-
פנימית בו
☆
גזירה לוגריתמית
גללו לשאר הנוסחה ↔
גוזרים את
בכלל השרשרת
טבלת נגזרות
☆
חזקה
משפט 7.31
גללו לשאר הנוסחה ↔
לכל
ממשי
ו-
;
עבור
שלם — בכל תחום ההגדרה
☆
מעריכית ולוגריתם
משפט 7.32
גללו לשאר הנוסחה ↔
וגם
לכל
☆
פונקציות טריגונומטריות
משפט 7.26
גללו לשאר הנוסחה ↔
בתחום ההגדרה;
☆
פונקציות טריגונומטריות הפוכות
גללו לשאר הנוסחה ↔
גזירות
ב-
;
8 · תכונות של פונקציות גזירות
14% מהמבחן
קיצון ומשפטי ערך ממוצע
☆
משפט פרמה
משפט 8.4
נקודת קיצון מקומי,
גזירה
ב-
גללו לשאר הנוסחה ↔
תנאי הכרחי בלבד:
ב-
.
מועמדים לקיצון:
,
אי-גזירות, קצות קטע
תנאי הכרחי בלבד:
f'(x₀)=0
לא מבטיח קיצון
(x³)
!
☆
משפט רול
משפט 8.5
,
גזירה
ב-
,
גללו לשאר הנוסחה ↔
שימוש קלאסי: הוכחה שלמשוואה יש לכל היותר שורש אחד
☆
משפט לגראנז' (הערך הממוצע)
משפט 8.6
,
גזירה
ב-
גללו לשאר הנוסחה ↔
השיפוע הממוצע מתקבל כשיפוע משיק בנקודה פנימית
לבדוק את שניהם: רציפה ב-
[a,b]
הסגור, גזירה ב-
(a,b)
הפתוח!
☆
מסקנות מלגראנז'
בקטע
גללו לשאר הנוסחה ↔
ובפרט
בקטע
☆
משפט קושי (הערך הממוצע המוכלל)
משפט 8.9
,
גזירות
ב-
,
גללו לשאר הנוסחה ↔
התנאי
מבטיח גם
(לפי רול); עבור
— לגראנז'
☆
משפט דארבו
משפט 8.10
גזירה
ב-
מקבלת כל ערך בין
גללו לשאר הנוסחה ↔
גם בלי
ש-
רציפה; לכן לנגזרת אין נקודות אי-רציפות סליקות או קפיצה
כלל לופיטל
☆
לופיטל — המקרה
משפט 8.13
גללו לשאר הנוסחה ↔
גזירות בסביבה נקובה
ו-
שם;
סופי או
רק אם גבול
f'/g'
קיים, ו-
g'≠0
בסביבה נקובה!
☆
לופיטל — המקרה
גללו לשאר הנוסחה ↔
תקף גם לגבולות חד-צדדיים ולגבולות
ב-
(באותם תנאי גזירות)
☆
כשהכלל לא עוזר
לא קיים
לא קיים
גללו לשאר הנוסחה ↔
למשל
כש-
,
אבל
אין לו גבול
☆
המרת ביטויים לא מוגדרים
גללו לשאר הנוסחה ↔
ו-
:
מכנה משותף או הוצאת גורם, ואז
או
חקירת פונקציה
☆
מונוטוניות לפי סימן הנגזרת
משפט 8.17
ב-
עולה;
ב-
עולה ממש
גללו לשאר הנוסחה ↔
ובאופן סימטרי
ל-
;
ההפך לחזק לא נכון:
עולה ממש
ו-
☆
מבחן הנגזרת הראשונה
מחליפה סימן
ב-
מינימום מקומי,
מקסימום מקומי
גללו לשאר הנוסחה ↔
רציפה
ב-
וגזירה בסביבה נקובה; בלי החלפת סימן — אין קיצון
☆
מבחן הנגזרת השנייה
משפט 8.23
מינימום מקומי,
מקסימום מקומי
גללו לשאר הנוסחה ↔
אם
המבחן לא מכריע
(
,
)
☆
קמירות לפי הנגזרת
משפט 8.27
קמורה (כלפי מעלה)
ב-
;
ב-
קמורה (כלפי מעלה)
גללו לשאר הנוסחה ↔
קמורה כלפי מעלה = המיתר מעל הגרף;
— קמורה כלפי מטה
☆
נקודת פיתול
משפט 8.30
נקודת פיתול,
קיימת
;
מחליפה סימן
ב-
נקודת פיתול
גללו לשאר הנוסחה ↔
לבד לא מספיק:
ב-
☆
אסימפטוטה משופעת
גללו לשאר הנוסחה ↔
שני הגבולות צריכים להיות סופיים; בודקים בנפרד
ב-
.
— אסימפטוטה אופקית
mathkiller.com