האוניברסיטה הפתוחה · קורס 20474
פתרון מבחן — אינפי 1 / חדו"א 1, 2025א מועד ב
- 2025א
- מועד ב
- מס' מועד 94
- 09.04.2025
מועד 94, 09.04.2025. פתרון מלא לכל עשר השאלות — חלק ראשון (1-5, עונים על שלוש בלבד, ומבין 4 ו-5 רק על אחת — לפי סמסטר הלימוד; 25 נק' לשאלה) וחלק שני (6-10, חובה, רב-ברירה, 5 נק' לשאלה). בכל סעיף שבו קיימות שתי דרכים שונות באמת מוצגות שתיהן; ובשאלות הרב-ברירה כל מסיח מנותח בנפרד.
10שאלות
מצב סימולציה: פתרו כל סעיף בעצמכם, חשפו את הפתרון, וסמנו אם צדקתם. ההתקדמות נשמרת במכשיר שלכם.
0/2 סעיפים נבדקו
25נק'
שאלה 1 — משפט ויירשטרס השני — פונקציה רציפה בקטע סגור מקבלת מקסימום
1
הוכחת המשפט השני של ויירשטרס (משפט 5.37)
הוכיחו את המשפט השני של ויירשטרס (משפט 5.37):
פונקציה רציפה בקטע סגור מקבלת בו מינימום ומקסימום.
מספיק להוכיח רק את קיום המקסימום.
פונקציה רציפה בקטע סגור מקבלת בו מינימום ומקסימום.
מספיק להוכיח רק את קיום המקסימום.
תשובה
!
מה הבודק מחפש
25נק'
שאלה 2 — סדרה אפסה כפול חסומה; נגזרת חיובית וגבול באינסוף
א
הוכחת משפט 2.22 — אפסה כפול חסומה (10 נק')
א. (10 נק')
הוכיחו את משפט 2.22:
מכפלה של סדרה אפסה וסדרה חסומה היא סדרה אפסה.
הוכיחו את משפט 2.22:
מכפלה של סדרה אפסה וסדרה חסומה היא סדרה אפסה.
ב.1
גוררת (חלק מ-15 נק')
ב. (15 נק')
תהי פונקציה רציפה בקטע וגזירה בקטע .
הוכיחו או הפריכו את הטענות הבאות:
(1) אם קיים קבוע כך שלכל מתקיים , אז .
(2) אם לכל מתקיים , אז .
(הסעיפים אינם שווי משקל)
תהי פונקציה רציפה בקטע וגזירה בקטע .
הוכיחו או הפריכו את הטענות הבאות:
(1) אם קיים קבוע כך שלכל מתקיים , אז .
(2) אם לכל מתקיים , אז .
(הסעיפים אינם שווי משקל)
25נק'
שאלה 3 — שלילת הגדרת הגבול; קבלת מינימום ב-
א
לפי שלילת ההגדרה (10 נק')
א. (10 נק')
הוכיחו לפי שלילת ניסוח הגדרת הגבול בלשון (הגדרה 4.28): , כלומר שלא מתקיים .
הערה: אין להוכיח בדרך השלילה, אלא רק לפי שלילת ניסוח הגדרת הגבול בלשון .
הוכיחו לפי שלילת ניסוח הגדרת הגבול בלשון (הגדרה 4.28): , כלומר שלא מתקיים .
הערה: אין להוכיח בדרך השלילה, אלא רק לפי שלילת ניסוח הגדרת הגבול בלשון .
ב
רציפה מקבלת מינימום ב- (15 נק')
ב. (15 נק')
תהי פונקציה רציפה ב- המקיימת לכל .
הוכיחו ש- מקבלת מינימום ב-.
תהי פונקציה רציפה ב- המקיימת לכל .
הוכיחו ש- מקבלת מינימום ב-.
25נק'
שאלה 4 — מול ; חסימות (סמסטר 2024א/ב/ג)
א
האם ? (10 נק')
שאלה 4 (25 נקודות) — רק למי שלמד/ה את הקורס בסמסטר 2024א/ב/ג
א. (10 נק')
הוכיחו או הפריכו:
תהי סדרה חיובית ומתכנסת, ונסמן . אז .
א. (10 נק')
הוכיחו או הפריכו:
תהי סדרה חיובית ומתכנסת, ונסמן . אז .
25נק'
שאלה 5 — מול ; רציפות במ"ש של (שנה 2023 או סמסטר 2025א)
א
האם ? (10 נק') — זהה ל-4א
שאלה 5 (25 נקודות) — רק למי שלמד/ה את הקורס בסמסטר אחר (שנה 2023 או סמסטר 2025א)
א. (10 נק')
הוכיחו או הפריכו:
תהי סדרה חיובית ומתכנסת, ונסמן . אז .
א. (10 נק')
הוכיחו או הפריכו:
תהי סדרה חיובית ומתכנסת, ונסמן . אז .
ב
רציפות במ"ש של ב- (15 נק')
ב. (15 נק')
הוכיחו או הפריכו:
הפונקציה רציפה במידה שווה בקטע .
הוכיחו או הפריכו:
הפונקציה רציפה במידה שווה בקטע .
5נק'
שאלה 6 — קבוצות צפופות באיחוד של שני קטעים חותכים
6
רב-ברירה — האם ו- צפופות ב-?
נאמר שקבוצה צפופה בקטע אם לכל כך ש- קיים כך ש-.
אם צפופה בקטע ו- צפופה בקטע , ויש נקודה משותפת לשני הקטעים ומכאן ש- הוא קטע, אז
1. צפופה ב-.
2. צפופה ב-.
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה
אם צפופה בקטע ו- צפופה בקטע , ויש נקודה משותפת לשני הקטעים ומכאן ש- הוא קטע, אז
1. צפופה ב-.
2. צפופה ב-.
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה
5נק'
שאלה 7 — רציפות וגזירות בנקודה אחת בדיוק — ופרט לנקודה אחת בדיוק
7
רב-ברירה — אילו מארבע הפונקציות קיימות?
1. קיימת פונקציה המוגדרת ב- ורציפה בנקודה אחת בדיוק.
2. קיימת פונקציה המוגדרת ב- ואינה רציפה בנקודה אחת בדיוק (כלומר רציפה בכל נקודה פרט לנקודה אחת בדיוק בה אינה רציפה).
3. קיימת פונקציה המוגדרת ב- וגזירה בנקודה אחת בדיוק.
4. קיימת פונקציה המוגדרת ב- ואינה גזירה בנקודה אחת בדיוק (כלומר גזירה בכל נקודה פרט לנקודה אחת בדיוק בה אינה גזירה).
הטענות הנכונות הן:
א. 1,2 ב. 3,4 ג. 1,3 ד. 2,4 ה. 1,2,3 ו. 1,2,4 ז. 1,2,3,4 ח. אף טענה אינה נכונה.
2. קיימת פונקציה המוגדרת ב- ואינה רציפה בנקודה אחת בדיוק (כלומר רציפה בכל נקודה פרט לנקודה אחת בדיוק בה אינה רציפה).
3. קיימת פונקציה המוגדרת ב- וגזירה בנקודה אחת בדיוק.
4. קיימת פונקציה המוגדרת ב- ואינה גזירה בנקודה אחת בדיוק (כלומר גזירה בכל נקודה פרט לנקודה אחת בדיוק בה אינה גזירה).
הטענות הנכונות הן:
א. 1,2 ב. 3,4 ג. 1,3 ד. 2,4 ה. 1,2,3 ו. 1,2,4 ז. 1,2,3,4 ח. אף טענה אינה נכונה.
5נק'
שאלה 8 — רציפות ב- של פונקציה מפוצלת עם
8
רב-ברירה — עבור איזה הפונקציה רציפה ב-?
תהי .
א. עבור , רציפה ב-.
ב. עבור , רציפה ב-.
ג. אף אחת מהטענות הנ"ל אינה נכונה.
א. עבור , רציפה ב-.
ב. עבור , רציפה ב-.
ג. אף אחת מהטענות הנ"ל אינה נכונה.
!
מדוע כל מסיח נופל
5נק'
שאלה 9 — ולגראנז'; גבול באינסוף עם
9
רב-ברירה — שתי טענות
1. לכל מתקיים: .
2. קיימת פונקציה חסומה ב- כך ש-.
הטענות הנכונות הן: א. 1. ב. 2. ג. 1,2. ד. אף טענה אינה נכונה.
2. קיימת פונקציה חסומה ב- כך ש-.
הטענות הנכונות הן: א. 1. ב. 2. ג. 1,2. ד. אף טענה אינה נכונה.
!
מדוע כל מסיח נופל
5נק'
שאלה 10 — מתת-קטעים לקטע — חסימות ורציפות
10
רב-ברירה — חסימות ורציפות
תהי פונקציה המוגדרת בקטע .
1. אם לכל קטע הפונקציה חסומה ב-, אז חסומה ב-.
2. אם לכל קטע הפונקציה רציפה ב-, אז רציפה ב-.
הטענות הנכונות הן: א. 1. ב. 2. ג. 1,2. ד. אף טענה אינה נכונה.
1. אם לכל קטע הפונקציה חסומה ב-, אז חסומה ב-.
2. אם לכל קטע הפונקציה רציפה ב-, אז רציפה ב-.
הטענות הנכונות הן: א. 1. ב. 2. ג. 1,2. ד. אף טענה אינה נכונה.