האוניברסיטה הפתוחה · קורס 20474
פתרון מבחן — אינפי 1 / חדו"א 1, 2025א מועד א2
- 2025א
- מועד א2
- מס' מועד 86
- 20.02.2025
20.02.2025. פתרון מלא לכל השאלות — חלק ראשון (1-5, עונים על שלוש בלבד, ולא גם על 4 וגם על 5) וחלק שני (6-10, רב-ברירה, חובה). בכל סעיף שבו קיימות שתי דרכים שונות באמת מוצגות שתיהן; בסעיפים שבהם יש דרך אחת בלבד — כך נאמר במפורש.
10שאלות
מצב סימולציה: פתרו כל סעיף בעצמכם, חשפו את הפתרון, וסמנו אם צדקתם. ההתקדמות נשמרת במכשיר שלכם.
0/2 סעיפים נבדקו
25נק'
שאלה 1 — משפט ויירשטרס השני — פונקציה רציפה בקטע סגור מקבלת מקסימום
1
הוכחת משפט ויירשטרס השני (משפט 5.37)
הוכיחו את המשפט השני של ויירשטרס (משפט 5.37):
פונקציה רציפה בקטע סגור מקבלת בו מינימום ומקסימום.
מספיק להוכיח רק את קיום המקסימום.
פונקציה רציפה בקטע סגור מקבלת בו מינימום ומקסימום.
מספיק להוכיח רק את קיום המקסימום.
תשובה
!
מה הבודק מחפש — ולמה צריך קטע סגור
25נק'
שאלה 2 — משפט הסנדוויץ' ונקודה קריטית בין שני קצוות אינסופיים
א
הוכחת משפט הסנדוויץ' (משפט 2.32) (10 נק')
א. (10 נק')
הוכיחו את משפט הסנדוויץ' (משפט 2.32):
תהיינה , ו- סדרות עבורן מתקיימים התנאים הבאים:
לכל מתקיים ; הסדרות ו- מתכנסות ; ו-.
אז גם הסדרה מתכנסת, ומתקיים .
הוכיחו את משפט הסנדוויץ' (משפט 2.32):
תהיינה , ו- סדרות עבורן מתקיימים התנאים הבאים:
לכל מתקיים ; הסדרות ו- מתכנסות ; ו-.
אז גם הסדרה מתכנסת, ומתקיים .
ב
קיום עם (15 נק')
ב. (15 נק')
תהי פונקציה גזירה בקטע המקיימת .
הוכיחו שקיימת נקודה כך ש-.
תהי פונקציה גזירה בקטע המקיימת .
הוכיחו שקיימת נקודה כך ש-.
!
מה הבודק מחפש
25נק'
שאלה 3 — הגדרת הגבול, אי-שוויון בעזרת נגזרת ומשפט ערך הביניים
א
לפי הגדרת הגבול (10 נק')
א. (10 נק')
הוכיחו לפי הגדרת הגבול בלשון (הגדרה 2.9) את הגבול:
הוכיחו לפי הגדרת הגבול בלשון (הגדרה 2.9) את הגבול:
25נק'
שאלה 4 — הוכיחו או הפריכו: וחסימות (למי שלמד ב-2024א/ב/ג)
א
, ? (10 נק')
לפניך שתי שאלות. ניתן לענות על שאלה אחת מבין השתיים בהתאם לסמסטר הלימוד שלך: אם למדת את הקורס בסמסטר 2024א או 2024ב או 2024ג — יש לענות על שאלה מס' 4; אם למדת את הקורס בסמסטר אחר (שנה 2023 או סמסטר 2025א) — יש לענות על שאלה מס' 5. לתשומת לבך! באחריות הסטודנט/ית להקפיד על בחירת השאלה המתאימה.
שאלה 4 (25 נקודות) — רק למי שלמד/ה את הקורס בסמסטר 2024א/ב/ג
א. (10 נק')
הוכיחו/הפריכו:
תהי סדרה כך שכמעט לכל מתקיים וגם .
אז .
שאלה 4 (25 נקודות) — רק למי שלמד/ה את הקורס בסמסטר 2024א/ב/ג
א. (10 נק')
הוכיחו/הפריכו:
תהי סדרה כך שכמעט לכל מתקיים וגם .
אז .
25נק'
שאלה 5 — הוכיחו או הפריכו: ורציפות במ"ש של (למי שלמד ב-2023 או ב-2025א)
א
, ? (10 נק') — זהה ל-4א
שאלה 5 (25 נקודות) — רק למי שלמד/ה את הקורס בסמסטר אחר (שנה 2023 או סמסטר 2025)
א. (10 נק')
הוכיחו/הפריכו:
תהי סדרה כך שכמעט לכל מתקיים וגם .
אז .
א. (10 נק')
הוכיחו/הפריכו:
תהי סדרה כך שכמעט לכל מתקיים וגם .
אז .
ב
רציפה במ"ש ב-? (15 נק')
ב. (15 נק')
הוכיחו או הפריכו:
הפונקציה רציפה במידה שווה בקטע .
הוכיחו או הפריכו:
הפונקציה רציפה במידה שווה בקטע .
5נק'
שאלה 6 — קבוצות צפופות — חיתוך ואיחוד
6
רב-ברירה — ו-
חלק שני — שאלות 6-10, חובה. ענו על כל חמש השאלות. בכל אחת מהשאלות יש טענה נכונה אחת בדיוק. סמנו את הטענה הנכונה בעמוד האחרון של מחברת הבחינה במקום המיועד לכך. לא נדרש נימוק — רק סימון במחברת מהי התשובה הנכונה.
שאלה 6 (5 נקודות)
נאמר שקבוצה צפופה בקטע אם לכל כך ש- קיים כך ש-.
1. אם צפופות ב- אז צפופה ב-.
2. אם צפופות ב- אז צפופה ב-.
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה.
שאלה 6 (5 נקודות)
נאמר שקבוצה צפופה בקטע אם לכל כך ש- קיים כך ש-.
1. אם צפופות ב- אז צפופה ב-.
2. אם צפופות ב- אז צפופה ב-.
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה.
5נק'
שאלה 7 — חסימות מלרע — כפל בקבוע שלילי, הפרש ומכפלה
7
רב-ברירה — , ,
שאלה 7 (5 נקודות)
תהיינה פונקציות חסומות מלרע בקטע , .
1. חסומה מלרע ב-.
2. חסומה מלרע ב-.
3. חסומה מלרע ב-.
הטענות הנכונות הן:
א. 1 ב. 2 ג. 3 ד. 1,2 ה. 1,3 ו. 2,3 ז. 1,2,3 ח. אף טענה אינה נכונה.
תהיינה פונקציות חסומות מלרע בקטע , .
1. חסומה מלרע ב-.
2. חסומה מלרע ב-.
3. חסומה מלרע ב-.
הטענות הנכונות הן:
א. 1 ב. 2 ג. 3 ד. 1,2 ה. 1,3 ו. 2,3 ז. 1,2,3 ח. אף טענה אינה נכונה.
5נק'
שאלה 8 — רציפות ב- של פונקציה מוגדרת למקוטעין עם פרמטר
8
רב-ברירה — עבור אילו הפונקציה רציפה ב-
שאלה 8 (5 נקודות)
תהי
א. עבור , רציפה ב-.
ב. עבור , רציפה ב-.
ג. אף אחת מהטענות הנ"ל אינה נכונה.
תהי
א. עבור , רציפה ב-.
ב. עבור , רציפה ב-.
ג. אף אחת מהטענות הנ"ל אינה נכונה.
5נק'
שאלה 9 — ופונקציה חסומה עם גבול נתון
9
רב-ברירה — לגראנז' וקיום פונקציה
שאלה 9 (5 נקודות)
1. לכל מתקיים: .
2. קיימת פונקציה חסומה ב- כך ש-.
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה.
1. לכל מתקיים: .
2. קיימת פונקציה חסומה ב- כך ש-.
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה.
5נק'
שאלה 10 — מתכונות על כל תת-קטע פתוח אל כל הקטע
10
רב-ברירה — חסימות ורציפות
שאלה 10 (5 נקודות)
תהי פונקציה המוגדרת בקטע .
1. אם לכל קטע הפונקציה חסומה ב-, אז חסומה ב-.
2. אם לכל קטע הפונקציה רציפה ב-, אז רציפה ב-.
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה.
תהי פונקציה המוגדרת בקטע .
1. אם לכל קטע הפונקציה חסומה ב-, אז חסומה ב-.
2. אם לכל קטע הפונקציה רציפה ב-, אז רציפה ב-.
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה.