שאלון 81, 15.02.2024. פתרון מפורט לכל השאלות — חלק ראשון (1-4, עונים על שלוש בלבד) וחלק שני (5-9, חובה, אמריקאיות). בכל סעיף שבו קיימות שתי דרכים אמיתיות מוצגות שתיהן; בסעיפים שבהם יש דרך אחת בלבד — כך נאמר במפורש, בלי "דרך שנייה" מלאכותית.
פונקציה ממשית שהיא רציפה בקטע סגור , חסומה בקטע זה.
📖 תוכנית פתרון
יש להוכיח שקיים עם לכל . שתי הדרכים למטה מגיעות לזה בשלילה, אבל בכלים שונים לחלוטין:
דרך 1 — בונים סדרה "בורחת" עם ומפעילים עליה את בולצאנו-ויירשטרס.
דרך 2 — אין סדרות בכלל: חוצים את הקטע שוב ושוב, שומרים כל פעם על החצי שבו אינה חסומה, ומפעילים את הלמה של קנטור על סדרת הקטעים המקוננים.
בשתי הדרכים חייבים לנצל גם את סגירות הקטע וגם את חסימותו — ובדיוק שם נופל הניקוד.
📜 משפטי מפתח
בולצאנו-ויירשטרס: לכל סדרה חסומה של ממשיים יש תת-סדרה מתכנסת.
קריטריון היינה לרציפות: רציפה ב- אם ורק אם לכל סדרה בתחום מתקיים .
הלמה של קנטור (קטעים מקוננים): אם קטעים סגורים לא ריקים שאורכיהם שואפים ל-, אז היא נקודה יחידה.
דרך 1 — שלילה בולצאנו-ויירשטרס
שלב 1 — הנחת השלילה ובניית סדרה. נניח בשלילה ש-אינה חסומה ב-. אז אף מספר אינו חסם ל-; בפרט לכל המספר אינו חסם, ולכן קיימת נקודה עם
שלב 2 — הסדרה חסומה (כאן נכנסת חסימות הקטע). לכל מתקיים , ולכן חסומה. לפי בולצאנו-ויירשטרס קיימת לה תת-סדרה מתכנסת:
שלב 3 — הגבול נשאר בקטע (כאן נכנסת הסגירות). מ- לכל , ומשימור אי-שוויון חלש במעבר לגבול,
ולכן מוגדרת ורציפה ב-.
שלב 4 — הפעלת היינה. מרציפות ב- ומ- נובע
כל סדרה מתכנסת היא חסומה, ולכן קיים עם לכל .
שלב 5 — הסתירה. מצד שני, לפי הבנייה בשלב 1 ומכך שאינדקסים של תת-סדרה מקיימים :
כלומר הסדרה אינה חסומה — בסתירה לשלב 4.
מסקנה. הנחת השלילה שגויה, ולכן חסומה ב-.
דרך 2 — חציית קטעים הלמה של קנטור (בלי סדרות של ערכים)
דרך זו אינה משתמשת בבולצאנו-ויירשטרס כלל; היא בונה במפורש את הנקודה הבעייתית.
שלב 1 — התבוננות בסיסית. אם חסומה בכל אחד משני קטעים סמוכים, היא חסומה באיחודם (המקסימום של שני חסמים הוא חסם). לכן, בניסוח מנוגד:
💡 הצעד שמניע את כל הבנייה
אם אינה חסומה ב-, ו- היא נקודת האמצע, אז אינה חסומה ב-או אינה חסומה ב- — אחרת הייתה חסומה בשניהם ולכן בכל .
שלב 2 — בניית סדרת קטעים מקוננים. נניח בשלילה ש- אינה חסומה ב-. נסמן , ובאינדוקציה: בהינתן שבו אינה חסומה, נבחר לפי שלב 1 את אחד משני חציי שבו אינה חסומה ונסמנו . מתקבלת סדרה
וכל הוא קטע סגור ולא ריק שבו אינה חסומה.
שלב 3 — הפעלת הלמה של קנטור. לפי הלמה קיימת נקודה יחידה
(כאן נדרשות שתי ההנחות: החסימות — כדי שהאורכים יהיו סופיים וישאפו ל-; הסגירות — כדי שהחיתוך לא יהיה ריק ושהנקודה תהיה בתחום ההגדרה).
שלב 4 — רציפות ב- נותנת חסם מקומי. נציב בהגדרת הרציפות : קיים כך שלכל עם
שלב 5 — הסתירה. נבחר גדול דיו כך ש-. מכיוון ש- ואורך קטן מ-, כל נקודה של מרוחקת מ- פחות מ-, כלומר
ולכן לפי שלב 4 מתקיים בכל — כלומר כן חסומה ב-, בסתירה לבנייה בשלב 2.
מסקנה. ההנחה שגויה, ולכן חסומה ב-.
תשובה
רציפה ב-
!
מה הבודק מחפש בשאלה 1
⚠️ שלוש נקודות שמורידות ניקוד
1. היכן השתמשתם בחסימות הקטע? בדרך 1 — בכך ש- חסומה ולכן חל עליה בולצאנו-ויירשטרס; בדרך 2 — בכך שאורכי הקטעים סופיים ושואפים ל-. בלי אמירה מפורשת ההוכחה נראית כאילו היא עובדת גם ב-, וזה כמובן לא נכון.
2. היכן השתמשתם בסגירות? בדרך 1 — במסקנה (שימור אי-שוויון חלש בגבול); בדרך 2 — בכך שחיתוך הקטעים אינו ריק ו- בתחום. זו הנקודה שבה ההוכחה "נוגעת" ברציפות של .
3. ציטוט מפורש של המשפטים — בולצאנו-ויירשטרס וקריטריון היינה (או הלמה של קנטור), בשמם.
💡 כל הנחה הכרחית — שלוש דוגמאות נגדיות
בלי סגירות: רציפה ב- ואינה חסומה שם. (בדרך 1 זה נשבר בדיוק בשלב 3: .)
בלי חסימות: רציפה ב- ואינה חסומה.
בלי רציפות: עבור ו- מוגדרת בכל ואינה חסומה שם.
עוד 8 שאלות במבחן הזה
השאלה שלמעלה פתוחה במלואה, בחינם. כל שאר השאלות פתורות באותה צורה — שלב אחר שלב, בשתי דרכי פתרון בכל מקום שאפשר, עם פירוט הטעויות שהבודקים רואים הכי הרבה.