שאלון 475, מועד 88, 05.03.2024. פתרון מלא לכל השאלות — חלק ראשון (1-4, עונים על שלוש בלבד) וחלק שני (5-9, חובה). בכל סעיף שבו קיימות שתי דרכים אמיתיות מוצגות שתיהן; בסעיפים שבהם יש דרך אחת בלבד — כך נאמר במפורש, ומוסבר מדוע.
תהי סדרה יורדת של קטעים סגורים , המקיימת את התנאים:
(1) כל קטע מכיל את הקטע הבא אחריו: .
(2) אורך הקטע שואף לאפס: .
אז קיימת נקודה אחת ויחידה , המשותפת לכל הקטעים, כלומר , והנקודה נתונה ע"י הנוסחאות .
📖 תוכנית פתרון
ההוכחה תמיד מתפצלת לשלושה חלקים: קיום נקודה בחיתוך, יחידות שלה, וזיהוי שלה כגבול שתי סדרות הקצוות. היחידות זהה בשתי הדרכים (היא נובעת ישירות מתנאי (2)); ההבדל האמיתי הוא באופן שבו מייצרים את הנקודה.
דרך 1 מתרגמת את ההכלה למונוטוניות של סדרות הקצוות ומפעילה את משפט הסדרה המונוטונית.
דרך 2 אינה נוגעת במונוטוניות כלל: היא מפעילה את משפט בולצאנו-ויירשטרס על הסדרה החסומה , ומקבלת את הנקודה כגבול של תת-סדרה.
📜 משפטי מפתח
משפט הסדרה המונוטונית: סדרה מונוטונית וחסומה מתכנסת; סדרה עולה מתכנסת ל- שלה, וסדרה יורדת ל- שלה.
משפט בולצאנו-ויירשטרס: לכל סדרה חסומה של ממשיים יש תת-סדרה מתכנסת.
שימור אי-שוויון חלש בגבול: אם לכל ו-, אז .
דרך 1 — מונוטוניות משפט הסדרה המונוטונית
שלב 1 — תרגום ההכלה לאי-שוויונות. ההכלה שקולה בדיוק לשני האי-שוויונות
כלומר עולה במובן החלש ו- יורדת במובן החלש.
שלב 2 — חסימות. לכל מתקיים (הקטע אינו ריק), ובצירוף שלב 1
לכן חסומה מלעיל ע"י , ו- חסומה מלרע ע"י .
שלב 3 — התכנסות. לפי משפט הסדרה המונוטונית קיימים הגבולות
שלב 4 — שני הגבולות שווים. לפי אריתמטיקה של גבולות ותנאי (2),
ובכך כבר הוכחה הנוסחה .
שלב 5 — שייכת לכל קטע. נקבע . מכיוון ש- ו- הוא אחד מאיברי הקבוצה, מתקיים ; מכיוון ש- ו- הוא אחד מאיברי הקבוצה, מתקיים . לכן
כלומר . שימו לב: כאן, ורק כאן, נכנסת סגירות הקטעים.
שלב 6 — יחידות. יהי כלשהו. אז לכל גם וגם שייכות ל-, ולכן המרחק ביניהן אינו עולה על אורך הקטע:
מספר קבוע אי-שלילי שקטן או שווה לכל איבר של סדרה השואפת לאפס הוא בהכרח , ולכן .
מסקנה. ו-.
דרך 2 — בולצאנו-ויירשטרס (ללא מונוטוניות כלל)
דרך זו אינה משתמשת בכך ש- עולה ו- יורדת, אלא רק בהכלה עצמה. היא שימושית במיוחד כשלא רוצים להיסמך על משפט הסדרה המונוטונית.
שלב 1 — חסימות. לכל מתקיים , ולכן
בפרט הסדרה חסומה.
שלב 2 — הפעלת בולצאנו-ויירשטרס. קיימת תת-סדרה מתכנסת
שלב 3 — שייכת לכל קטע. נקבע . לכל שעבורו מתקיים (הכלה חוזרת, מתנאי (1)), ולכן
זהו אי-שוויון חלש המתקיים לכל גדול מספיק; מעבר לגבול ב- שומר עליו:
הדבר נכון לכל , ולכן — החיתוך אינו ריק.
שלב 4 — יחידות. בדיוק כמו בדרך 1: אם גם בחיתוך אז ולכן .
שלב 5 — הנוסחאות לגבולות (כאן דרך 2 אף נותנת אותן "בחינם"). משלב 3 נובע לכל, ולכן
כלומר, לפי כלל הסנדוויץ', וגם — הסדרה כולה מתכנסת, ולא רק התת-סדרה.
💡 מה בדיוק שונה בין הדרכים
דרך 1 מייצרת את כ- של סדרת הקצוות השמאליים ונשענת על המונוטוניות; דרך 2 מייצרת את כגבול של תת-סדרה שרירותית ונשענת על חסימות בלבד. לכן דרך 2 עובדת מילה במילה גם עבור קבוצות סגורות מקוננות וחסומות כלליות (לא רק קטעים), בעוד דרך 1 מנוסחת בשפה של קצוות ואינה עוברת ישירות.
תשובה
!
מה הבודק מחפש — ואיפה המשפט נשבר
⚠️ דברים שהבודק מחפש
1. הוכחה ש- לכל — ולא רק בגבול. זו הנקודה שבה נופלים הכי הרבה נבחנים: הם מוכיחים ש- מתכנסת ומסיקים מיד ש- בחיתוך. צריך נימוק מפורש (סופרמום, או שימור אי-שוויון בגבול).
2. הוכחת היחידות בנפרד. השאלה מבקשת "נקודה אחת ויחידה"; מי שהוכיח רק שהחיתוך אינו ריק פספס חלק מהניקוד.
3. ציון מפורש היכן השתמשתם בתנאי (2) — הוא נחוץ ליחידות ולשוויון , ולא לקיום.
💡 שלוש דוגמאות שמראות שכל הנחה הכרחית
סגירות: — קטעים מקוננים שאורכם שואף לאפס, אך .
חסימות: — קטעים סגורים מקוננים, אך (כאן גם תנאי (2) אינו מתקיים, כמובן).
תנאי (2): לכל — החיתוך אינו ריק, אך אינו נקודה יחידה: .
עוד 8 שאלות במבחן הזה
השאלה שלמעלה פתוחה במלואה, בחינם. כל שאר השאלות פתורות באותה צורה — שלב אחר שלב, בשתי דרכי פתרון בכל מקום שאפשר, עם פירוט הטעויות שהבודקים רואים הכי הרבה.