שאלון 473, מועד 82, 23.09.2024. פתרון מלא לכל השאלות — חלק ראשון (1-4, עונים על שלוש בלבד) וחלק שני (5-9, חובה). בכל סעיף שבו קיימות שתי דרכים אמיתיות מוצגות שתיהן; בסעיפים שבהם יש דרך אחת בלבד — כך נאמר במפורש, ומוסבר מדוע היריבה המתבקשת נכשלת.
צריך לייצר שני דברים: נקודה ותת-סדרה המתכנסת אליה. שתי הדרכים נבדלות בשאלה מה מייצרים קודם.
דרך 1 מייצרת קודם את הנקודה: חצייה חוזרת של הקטע בונה קטעים סגורים מקוננים, הלמה של קנטור נותנת את , ורק אז נבחרת תת-הסדרה.
דרך 2 מייצרת קודם את תת-הסדרה: למת הפסגות מראה שלכל סדרה — חסומה או לא — יש תת-סדרה מונוטונית, ואז משפט הסדרה המונוטונית נותן את הגבול בחינם.
📜 שני המשפטים שמאחורי שתי הדרכים
הלמה של קנטור: אם קטעים סגורים שאורכיהם שואפים לאפס, אז עבור נקודה אחת ויחידה , והיא הגבול של שתי סדרות הקצוות.
משפט הסדרה המונוטונית: סדרה מונוטונית וחסומה מתכנסת — עולה ל- שלה, יורדת ל- שלה.
שניהם נשענים על אקסיומת השלמות, וזו הסיבה שאין הוכחה של בולצנו-ויירשטראס שאינה משתמשת בה: המשפט פשוט אינו נכון מעל .
דרך 1 — חצייה חוזרת הלמה של קנטור
שלב 1 — ניסוח הנתון. תהי סדרה חסומה. לפי ההגדרה קיימים מספרים כך שלכל
נסמן .
שלב 2 — התכונה שתישמר לאורך הבנייה. נאמר שקטע מכיל אינסוף איברים של הסדרה אם קבוצת האינדקסים היא אינסופית. הקטע מקיים זאת, שכן הוא מכיל את כל האינדקסים.
שלב 3 — בניית הקטעים בחצייה חוזרת. נבנה באינדוקציה קטעים סגורים , כך שכל מכיל אינסוף איברים של הסדרה. נניח ש- כבר נבנה ומכיל אינסוף איברים; נחצה אותו לשני חצאים סגורים
שלב 4 — בחירת החצי המתאים. איחוד שני החצאים הוא . אילו כל אחד מהם היה מכיל רק מספר סופי של אינדקסים, גם היה מכיל מספר סופי (איחוד של שתי קבוצות סופיות הוא סופי) — בסתירה להנחת האינדוקציה. לכן לפחות אחד משני החצאים מכיל אינסוף אינדקסים; נבחר אחד כזה (למשל את השמאלי, אם שניהם מתאימים) ונסמנו .
שלב 5 — אורכי הקטעים. בכל חצייה האורך מתחלק ב-, ולכן
שלב 6 — הפעלת הלמה של קנטור. היא סדרה יורדת של קטעים סגורים שאורכיהם שואפים לאפס, ולכן קיימת נקודה אחת ויחידה עם
שלב 7 — בניית תת-הסדרה. ניקח כלשהו עם . בהינתן , הקטע מכיל אינסוף אינדקסים, ובפרט קיים בו אינדקס עם . כאן, ורק כאן, נחוצה תכונת "אינסוף האינדקסים" — היא מבטיחה שתמיד אפשר להתקדם קדימה. כך מתקבלת סדרת אינדקסים עולה ממש , כלומר תת-סדרה .
שלב 8 — אומדן המרחק מהנקודה . לכל מתקיים וגם (לפי שלב 6), ושתי נקודות באותו קטע מקיימות
שלב 9 — סיום. האגף הימני שואף ל-, ולכן לפי כלל הסנדוויץ' , כלומר
מצאנו תת-סדרה מתכנסת.
דרך 2 — למת הפסגות משפט הסדרה המונוטונית
דרך זו אינה בונה קטעים כלל ואינה משתמשת בלמה של קנטור. היא מפצלת את הטענה לשני חלקים עצמאיים: קודם מונוטוניות (שאינה דורשת חסימות), ואחר כך התכנסות (שדורשת אותה).
שלב 1 — הגדרת פסגה. תהי סדרה כלשהי. נאמר שאינדקס הוא פסגה של הסדרה אם
כלומר אף איבר אחרי המקום אינו גבוה מ-.
שלב 2 — מקרה א: יש אינסוף פסגות. נסמן אותן . לכל מתקיים ו- פסגה, ולכן . קיבלנו תת-סדרה יורדת במובן החלש
שלב 3 — מקרה ב: יש מספר סופי של פסגות. יהי גדול מכל הפסגות (אם אין פסגות כלל, ניקח ). נבחר . האינדקס אינו פסגה, ולכן קיים עם . גם ולכן אינו פסגה, וקיים עם , וכן הלאה. קיבלנו תת-סדרה עולה ממש
שלב 4 — מסקנת הביניים (למת הפסגות). בשני המקרים — ואלו כל המקרים — קיימת תת-סדרה מונוטונית. שימו לב שעד כאן לא נעשה שום שימוש בחסימות.
שלב 5 — הפעלת החסימות. כעת נניח ש- חסומה: קיים עם לכל . כל איבר של תת-הסדרה הוא איבר של הסדרה, ולכן לכל — תת-הסדרה חסומה.
שלב 6 — סיום. מונוטונית וחסומה, ולכן לפי משפט הסדרה המונוטונית היא מתכנסת:
מצאנו תת-סדרה מתכנסת.
💡 מה בדיוק שונה בין הדרכים
דרך 1 מייצרת את הגבול לפני תת-הסדרה: הנקודה מתקבלת מהלמה של קנטור, ותת-הסדרה נבנית "לכיוונה". דרך 2 הפוכה: היא מייצרת תת-סדרה בלי לדעת דבר על הגבול, ורק בשלב האחרון מפעילה את החסימות.
לכן דרך 2 מוכיחה בדרך אגב טענה חזקה יותר — לכל סדרה ממשית (חסומה או לא) יש תת-סדרה מונוטונית. מכאן נובעת גם הגרסה המורחבת של המשפט: לכל סדרה ממשית יש תת-סדרה המתכנסת במובן הרחב (סדרה מונוטונית לא חסומה שואפת ל- או ל-).
תשובה
ו-
!
מה הבודק מחפש
⚠️ שלוש נקודות שמורידות ניקוד
1. אינדקסים עולים ממש. תת-סדרה מוגדרת ע"י . מי שבנה בדרך 1 את הקטעים אך בחר מכל קטע איבר "כלשהו" בלי לדרוש — לא בנה תת-סדרה. זו הנפילה הנפוצה ביותר בשאלה הזו.
2. נימוק מדוע אפשר להמשיך. ההצדקה לבחירת היא בדיוק ש- מכיל אינסוף אינדקסים; אם נשמרת רק התכונה " מכיל איבר של הסדרה", הבנייה נתקעת.
3. היכן נכנסת הסגירות. לכל אפשרי רק מפני שהקטעים סגורים; עם קטעים פתוחים החיתוך יכול להיות ריק, למשל .
💡 בדיקה עצמית — מדוע כל הנחה נחוצה
החסימות: הסדרה אינה חסומה ולכל תת-סדרה שלה — אין תת-סדרה מתכנסת. כלומר בלי החסימות המשפט שקרי.
השלמות: הסדרה הרציונלית = הקירוב העשרוני ה--י של חסומה, וכל תת-סדרה שלה שואפת ל- — כלומר מעל המשפט שקרי. לכן כל הוכחה חייבת להשתמש באקסיומת השלמות, וזה מה שעושות שתי הדרכים.
עוד 8 שאלות במבחן הזה
השאלה שלמעלה פתוחה במלואה, בחינם. כל שאר השאלות פתורות באותה צורה — שלב אחר שלב, בשתי דרכי פתרון בכל מקום שאפשר, עם פירוט הטעויות שהבודקים רואים הכי הרבה.