האוניברסיטה הפתוחה · קורס 20474
פתרון מבחן — אינפי 1 / חדו"א 1, 2026ב מועד ב
- 2026ב
- מועד ב
- מס' מועד 97
- 03.09.2026
03.09.2026. פתרון מלא לכל השאלות — חלק ראשון (1-5, רב-ברירה, חובה, 5 נק' לשאלה) וחלק שני (6-9, עונים על שלוש בלבד, 25 נק' לשאלה). בשאלות הרב-ברירה מוסבר גם מדוע כל אחת מהאפשרויות האחרות שגויה. בכל סעיף שבו קיימות שתי דרכים אמיתיות מוצגות שתיהן.
9שאלות
מצב סימולציה: פתרו כל סעיף בעצמכם, חשפו את הפתרון, וסמנו אם צדקתם. ההתקדמות נשמרת במכשיר שלכם.
0/2 סעיפים נבדקו
5נק'
שאלה 1 — הרכבה של פונקציות עולות
1
רב-ברירה — שתי טענות על עם עולה
תהי פונקציה המוגדרת ב-.
1. אם עולה ב-, אז לכל פונקציה שעולה ב- הפונקציה עולה ב-.
2. אם לכל פונקציה שעולה ב- הפונקציה עולה ב-, אז עולה ב-.
(תזכורת: פונקציה עולה בקטע אם לכל מתקיים )
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה
1. אם עולה ב-, אז לכל פונקציה שעולה ב- הפונקציה עולה ב-.
2. אם לכל פונקציה שעולה ב- הפונקציה עולה ב-, אז עולה ב-.
(תזכורת: פונקציה עולה בקטע אם לכל מתקיים )
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה
תשובה
טענות
!
מדוע כל מסיח נופל
5נק'
שאלה 2 — סדרה עם וגזירות ב-
2
רב-ברירה — נכון / לא נכון
תהי פונקציה רציפה ב-, , וקיימת סדרה המקיימת ולכל כך שמתקיים . אז גזירה ב- ו-.
א. הטענה נכונה ב. הטענה אינה נכונה
א. הטענה נכונה ב. הטענה אינה נכונה
!
מדוע המסיח נופל
5נק'
שאלה 3 — הגבול
3
רב-ברירה — חישוב הגבול
יהיו פונקציות חיוביות בסביבה נקובה של , בסביבה זו, כך ש-, ( גבול סופי).
הגבול הוא:
א. ב. ג. ד. ה. ו. כל התשובות הקודמות אינן נכונות
הגבול הוא:
א. ב. ג. ד. ה. ו. כל התשובות הקודמות אינן נכונות
!
מדוע כל מסיח נופל
5נק'
שאלה 4 — בסביבה נקובה — מקסימום, גזירות ופרמה
4
רב-ברירה — שלוש טענות
תהי פונקציה המוגדרת בסביבת וגזירה בסביבה נקובה של , כך שלכל בסביבה הנקובה מתקיים .
1. ל- יש מקסימום מקומי ב-.
2. גזירה ב-.
3. אם גזירה ב- אז .
הטענות הנכונות הן:
א. 1.
ב. 2.
ג. 1,2.
ד. 1,3.
ה. 1,2,3.
ו. אף טענה אינה נכונה.
1. ל- יש מקסימום מקומי ב-.
2. גזירה ב-.
3. אם גזירה ב- אז .
הטענות הנכונות הן:
א. 1.
ב. 2.
ג. 1,2.
ד. 1,3.
ה. 1,2,3.
ו. אף טענה אינה נכונה.
!
מדוע כל מסיח נופל
5נק'
שאלה 5 — רציפה ב- עם ב- ו- ב-
5
רב-ברירה — מה בהכרח נכון
תהי פונקציה המוגדרת ורציפה בקטע ומקיימת , . אז:
א. התמונה של היא הקטע .
ב. חסומה בקטע .
ג. מונוטונית עולה בקטע .
ד. ל- יש מקסימום בקטע .
א. התמונה של היא הקטע .
ב. חסומה בקטע .
ג. מונוטונית עולה בקטע .
ד. ל- יש מקסימום בקטע .
!
מדוע כל מסיח נופל
25נק'
שאלה 6 — משפט 3.32 — בולצאנו-ויירשטרס
6
הוכחת משפט בולצאנו-ויירשטרס
הוכיחו את משפט בולצאנו-ויירשטרס (משפט 3.32):
לכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת.
לכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת.
!
מה הבודק מחפש
25נק'
שאלה 7 — שמירת סדר בגבול; ערכי ביניים ליד קצה לא רציף
א
הוכחת משפט 4.41 (10 נק')
(10 נק')
הוכיחו את משפט 4.41:
תהיינה פונקציות. אם הגבולות , קיימים, ואם קיימת סביבה נקובה של שבה מתקיים , אז .
הוכיחו את משפט 4.41:
תהיינה פונקציות. אם הגבולות , קיימים, ואם קיימת סביבה נקובה של שבה מתקיים , אז .
ב1
מקבלת כל ערך חיובי ב- (סעיף ב — 15 נק')
ב. (15 נק')
תהי סדרה כך שלכל מתקיים ו-, ותהי פונקציה המוגדרת בקטע , רציפה בקטע המקיימת ו-.
(1) הוכיחו ש- מקבלת בקטע כל ערך חיובי. כלומר יש להוכיח שלכל , למשוואה יש פתרון בקטע .
תהי סדרה כך שלכל מתקיים ו-, ותהי פונקציה המוגדרת בקטע , רציפה בקטע המקיימת ו-.
(1) הוכיחו ש- מקבלת בקטע כל ערך חיובי. כלומר יש להוכיח שלכל , למשוואה יש פתרון בקטע .
!
איפה כל הנחה נכנסת
25נק'
שאלה 8 — חסימות של קבוצות; אי-שוויון לוגריתמי ודרבו
א
הוכיחו או הפריכו — אינה חסומה מלעיל? (10 נק')
(10 נק')
הוכיחו או הפריכו:
יהיו שתי קבוצות לא ריקות, אינה חסומה מלעיל.
נניח שלכל קיים כך ש- ולכל קיים כך ש-.
אז אינה חסומה מלעיל.
הוכיחו או הפריכו:
יהיו שתי קבוצות לא ריקות, אינה חסומה מלעיל.
נניח שלכל קיים כך ש- ולכל קיים כך ש-.
אז אינה חסומה מלעיל.
ב1
לכל (סעיף ב — 15 נק')
ב. (15 נק')
(1) הוכיחו שלכל מתקיים .
(הסעיפים אינם שווי משקל)
(1) הוכיחו שלכל מתקיים .
(הסעיפים אינם שווי משקל)
ב2
קיימת עם
(2) תהי פונקציה גזירה בקטע המקיימת לכל .
הוכיחו שקיימת נקודה כך ש-.
רמז: גזרו את הפונקציה .
הוכיחו שקיימת נקודה כך ש-.
רמז: גזרו את הפונקציה .
!
מה הבודק מחפש
25נק'
שאלה 9 — הסדרה — גבולות חלקיים
1
כמעט לכל
תהי .
(1) יהי מספר טבעי. הוכיחו שכמעט לכל טבעי מתקיים .
הערה: בכל סעיף מותר להשתמש בסעיפים שקדמו לו, גם אם לא הוכחתם אותם. (הסעיפים אינם שווי משקל)
(1) יהי מספר טבעי. הוכיחו שכמעט לכל טבעי מתקיים .
הערה: בכל סעיף מותר להשתמש בסעיפים שקדמו לו, גם אם לא הוכחתם אותם. (הסעיפים אינם שווי משקל)
3
כל מספר טבעי הוא גבול חלקי של
(3) היעזרו בסעיפים הקודמים כדי להוכיח שכל מספר טבעי הוא גבול חלקי של .
!