האוניברסיטה הפתוחה · קורס 20474
פתרון מבחן — אינפי 1 / חדו"א 1, 2026ב מועד א1
- 2026ב
- מועד א1
- מס' מועד 84
- 01.07.2026
01.07.2026. פתרון מלא לכל השאלות — חלק ראשון (1-5, רב-ברירה חובה; 5 נק' לשאלה) וחלק שני (6-9, עונים על שלוש בלבד; 25 נק' לשאלה). בכל סעיף שבו קיימות שתי דרכים שונות באמת מוצגות שתיהן.
9שאלות
מצב סימולציה: פתרו כל סעיף בעצמכם, חשפו את הפתרון, וסמנו אם צדקתם. ההתקדמות נשמרת במכשיר שלכם.
0/2 סעיפים נבדקו
5נק'
שאלה 1 — הרכבה עם פונקציה עולה וחסימות
1
רב-ברירה — אילו מהטענות נכונות?
תהי פונקציה המוגדרת ב-.
1. אם חסומה ב-, אז לכל פונקציה שעולה ב- הפונקציה חסומה ב-.
2. אם לכל פונקציה שעולה ב- הפונקציה חסומה ב-, אז חסומה ב-.
(תזכורת: פונקציה עולה בקטע אם לכל מתקיים )
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה
1. אם חסומה ב-, אז לכל פונקציה שעולה ב- הפונקציה חסומה ב-.
2. אם לכל פונקציה שעולה ב- הפונקציה חסומה ב-, אז חסומה ב-.
(תזכורת: פונקציה עולה בקטע אם לכל מתקיים )
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה
תשובה
!
מדוע כל מסיח נופל — ואיפה מפסידים את הנקודות
5נק'
שאלה 2 — מנת הפרשים השואפת לאינסוף לאורך סדרה — וגזירות ב-
2
רב-ברירה — האם הטענה נכונה?
תהי פונקציה רציפה ב-, , וקיימת סדרה המקיימת ולכל כך שמתקיים . אז אינה גזירה ב-.
א. הטענה נכונה ב. הטענה אינה נכונה
א. הטענה נכונה ב. הטענה אינה נכונה
!
מדוע המסיח נופל — ומה תפקיד הנתונים
5נק'
שאלה 3 — גבול של שורש -י של סכום חזקות
3
רב-ברירה — חישוב הגבול
יהיו סדרות חיוביות כך ש-, כאשר .
הגבול הוא:
א.
ב.
ג.
ד.
ה.
ו. כל התשובות הקודמות אינן נכונות
הגבול הוא:
א.
ב.
ג.
ד.
ה.
ו. כל התשובות הקודמות אינן נכונות
!
מדוע כל מסיח נופל
5נק'
שאלה 4 — בסביבה ומינימום מקומי
4
רב-ברירה — אילו מהטענות נכונות?
תהי פונקציה גזירה ב- וקיימת סביבה של שבה מתקיים .
1. אם אז ל- יש מינימום מקומי ב-.
2. אם אז ל- יש מינימום מקומי ב-.
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה
1. אם אז ל- יש מינימום מקומי ב-.
2. אם אז ל- יש מינימום מקומי ב-.
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה
!
מדוע כל מסיח נופל
5נק'
שאלה 5 — חד-חד-ערכיות מול נגזרת שאינה מתאפסת
5
רב-ברירה — אילו מהטענות נכונות?
תהי פונקציה גזירה בקטע .
1. אם חח"ע ב- אז לכל .
2. אם לכל אז חח"ע ב-.
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה
1. אם חח"ע ב- אז לכל .
2. אם לכל אז חח"ע ב-.
הטענות הנכונות הן: א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה
!
מדוע כל מסיח נופל
25נק'
שאלה 6 — הלמה של קנטור — קטעים סגורים מקוננים
6
הוכחת הלמה של קנטור (משפט 3.22)
הוכיחו את הלמה של קנטור (משפט 3.22):
תהי סדרה יורדת של קטעים סגורים , המקיימת את התנאים:
(1) כל קטע מכיל את הקטע הבא אחריו: .
(2) אורך הקטע שואף לאפס: .
אז קיימת נקודה אחת ויחידה , המשותפת לכל הקטעים, כלומר , והנקודה נתונה ע"י הנוסחאות .
תהי סדרה יורדת של קטעים סגורים , המקיימת את התנאים:
(1) כל קטע מכיל את הקטע הבא אחריו: .
(2) אורך הקטע שואף לאפס: .
אז קיימת נקודה אחת ויחידה , המשותפת לכל הקטעים, כלומר , והנקודה נתונה ע"י הנוסחאות .
!
מה הבודק מחפש — ולמה כל תנאי נחוץ
25נק'
שאלה 7 — גזירות גוררת רציפות;
א
הוכחת משפט 7.9 — גזירות גוררת רציפות (10 נק')
א. (10 נק')
הוכיחו את משפט 7.9:
אם גזירה ב- אז רציפה ב-.
הוכיחו את משפט 7.9:
אם גזירה ב- אז רציפה ב-.
ב
ורציפות ⇒ או (15 נק')
ב. (15 נק')
תהי פונקציה רציפה ב- המקיימת לכל .
הוכיחו כי או .
תהי פונקציה רציפה ב- המקיימת לכל .
הוכיחו כי או .
25נק'
שאלה 8 — סופרמום ואינפימום; גבול הנגזרת באינסוף
א
הוכיחו או הפריכו: חסומה ו- (10 נק')
א. (10 נק')
הוכיחו או הפריכו:
יהיו שתי קבוצות לא ריקות, חסומה מלעיל, חסומה מלרע.
נניח שלכל קיים כך ש- ולכל קיים כך ש-.
אז חסומה וגם .
הוכיחו או הפריכו:
יהיו שתי קבוצות לא ריקות, חסומה מלעיל, חסומה מלרע.
נניח שלכל קיים כך ש- ולכל קיים כך ש-.
אז חסומה וגם .
ב
ו- באינסוף ⇒ (15 נק')
ב. (15 נק')
תהי רציפה ב- וגזירה ב-, כך שקיימים הגבולות ו- (במובן הסופי). הוכיחו כי .
תהי רציפה ב- וגזירה ב-, כך שקיימים הגבולות ו- (במובן הסופי). הוכיחו כי .
!
מה הבודק מחפש בסעיף ב
25נק'
שאלה 9 — הסדרה — גבולות חלקיים
1
כמעט לכל
תהי .
(1) יהי מספר טבעי. הוכיחו שכמעט לכל טבעי מתקיים .
הערה: בכל סעיף מותר להשתמש בסעיפים שקדמו לו, גם אם לא הוכחתם אותם. (הסעיפים אינם שווי משקל)
(1) יהי מספר טבעי. הוכיחו שכמעט לכל טבעי מתקיים .
הערה: בכל סעיף מותר להשתמש בסעיפים שקדמו לו, גם אם לא הוכחתם אותם. (הסעיפים אינם שווי משקל)
3
כל מספר טבעי הוא גבול חלקי של
(3) היעזרו בסעיפים הקודמים כדי להוכיח שכל מספר טבעי הוא גבול חלקי של .
!