האוניברסיטה הפתוחה · קורס 20425

פתרון מבחן — הסתברות ומבוא לסטטיסטיקה

סמסטר2023א
מועד א1
בינוני

נושאים:צפיפות רציפה ותוחלת של פונקציה · הוכחות: אי-תלות, בינומי ופונקציה יוצרת מומנטים · פילוג משותף ומותנה · אינדיקטורים וקווריאנס במעגל · נראות מקסימלית לבינומי שלילי

15שאלות

מצב סימולציה: פתרו כל שאלה בעצמכם, חשפו את התשובה, וסמנו אם צדקתם. ההתקדמות נשמרת במכשיר שלכם.

0/15 נבדקו

שאלה 1

הרווח החודשי במיליוני דולרים של ערוץ ספורט מפרסומות הוא משתנה מקרי רציף בעל פונקציית הצפיפות הבאה: עבור , עבור , ו- אחרת. ידוע כי פונקציית הצפיפות רציפה בנקודה . חשבו את ו- ושרטטו את פונקציית הצפיפות.

שאלה 2

הרווח החודשי במיליוני דולרים של ערוץ ספורט מפרסומות הוא משתנה מקרי רציף בעל הצפיפות עבור , עבור , ו- אחרת. הערוץ מחליט על תרומה חודשית בהתאם לרווחיו מפרסומות. בחודש שבו הוא מפסיד הוא לא תורם. בחודש שבו הוא מרוויח אבל רווחיו נמוכים מחצי מיליון דולר, הוא תורם מרווחיו באותו חודש, ובחודש שבו הוא מרוויח מעל חצי מיליון דולר, הוא תורם סכום קבוע של אלף דולר. מהי התוחלת של סכום התרומה החודשי של הערוץ?

שאלה 3

הרווח החודשי במיליוני דולרים של ערוץ ספורט מפרסומות הוא משתנה מקרי רציף בעל הצפיפות עבור , עבור , ו- אחרת. ידוע כי בחודש מסוים רווח החברה היה חיובי. מה ההסתברות שהרווח בחודש זה היה לכל היותר מיליון דולר?

שאלה 4

הרווח החודשי במיליוני דולרים של ערוץ ספורט מפרסומות הוא משתנה מקרי רציף בעל הצפיפות עבור , עבור , ו- אחרת. בהנחה שאין תלות בין הרווחים החודשיים של ערוץ הספורט, מהי ההסתברות שמתוך כלל חודשי השנה יהיו לכל היותר חודשיים שבהם הערוץ יפסיד?

שאלה 5

נתונים שלושה מאורעות , ו-. ידוע כי: ו- בלתי תלויים; ו- בלתי תלויים; ו- זרים. הוכיחו את הטענה ש- ו- בלתי תלויים.

שאלה 6

נתון ש-. הוכיחו ש- ו-.

שאלה 7

הוכיחו: אם הם משתנים מקריים בלתי תלויים, מתקיים .

שאלה 8

יעל ילדה חובבת פסטיגלים. סבתא קנתה לה חבילה עם שלושה קלפי שחקנים שונים שהשתתפו בפסטיגל Freestyle. ליעל צבעים שונים, אחד מהם אדום. עבור כל קלף ובאופן בלתי תלוי בקלפים האחרים יעל בוחרת באקראי צבע אחד וצובעת את הקלף בצבע שבחרה. נגדיר: — מספר הקלפים שיעל צבעה באדום; — מספר סוגי הצבעים בהם השתמשה יעל לצביעת הקלפים. למשל, אם יעל צבעה את כל הקלפים באדום אז ; אם צבעה שני קלפים באדום ואחד בכחול אז . בנו את ההתפלגות המשותפת של ו-.

שאלה 9

יעל צובעת שלושה קלפים; לכל קלף, באופן בלתי תלוי, היא בוחרת באקראי צבע אחד מתוך צבעים שונים ‏(אחד מהם אדום)‏. — מספר סוגי הצבעים בהם השתמשה יעל לצביעת הקלפים, עם , , . מהן התוחלת והשונות של מספר הצבעים שיעל לא השתמשה בהם לצביעת הקלפים?

שאלה 10

יעל צובעת שלושה קלפים; לכל קלף, באופן בלתי תלוי, היא בוחרת באקראי צבע אחד מתוך צבעים שונים ‏(אחד מהם אדום)‏. — מספר הקלפים שיעל צבעה באדום; — מספר סוגי הצבעים בהם השתמשה. חשבו את ההתפלגות של אם ידוע ש-.

שאלה 11

מתמודדים מ"הכוכב הבא" יושבים במעגל בסדר אקראי. נניח שהמקומות במעגל ממוספרים ברצף מ- עד , ולכל מתמודד מגרילים מקום שונה בין ל-. כל מתמודד עולה לשיר שיר אחד לפי סדר מקומות הישיבה. בסיכוי של כל מתמודד בוחר לשיר שיר בעברית () ובסיכוי של לשיר שיר באנגלית (). הניחו אי תלות בין בחירות השירים של המתמודדים. נגדיר — מספר הרצפים באורך בדיוק של שירים רצופים באנגלית ‏(בשאלה מופיע איור לדוגמה: קבוצה של מתמודדים במעגל שבה יש רצף אחד בלבד של בדיוק שני שירים באנגלית, ולכן ). חשבו את התוחלת של .

שאלה 12

מתמודדים מ"הכוכב הבא" יושבים במעגל במקומות עד ‏(בסדר אקראי)‏, וכל אחד שר שיר אחד לפי סדר הישיבה: בסיכוי שיר בעברית () ובסיכוי שיר באנגלית (), באי-תלות בין המתמודדים. — מספר הרצפים באורך בדיוק של שירים רצופים באנגלית. חשבו את השונות של .

שאלה 13

יהי משתנה מקרי המתפלג בינומית שלילית עם פרמטר ידוע ופרמטר לא ידוע. כדי לאמוד את הפרמטר מבצעים מדגם מקרי בגודל מהתפלגות זו. מצאו אומד נראות מקסימלית ל-.

שאלה 14

יהי משתנה מקרי המתפלג בינומית שלילית עם פרמטר ידוע ופרמטר לא ידוע, ומבצעים מדגם מקרי בגודל מהתפלגות זו. אם ו-, מצאו אומד נראות מקסימלית ל-.

שאלה 15

פתרון מבחן — הסתברות ומבוא לסטטיסטיקה

עוד 14 שאלות במבחן הזה

על המבחן הזה