האוניברסיטה הפתוחה · קורס 20229

פתרון מבחן — אלגברה לינארית 2

סמסטר2026ג
מועד א
מס' מועד82
תאריך8.10.2026
קשה

נושאים:דרגה וסימנית של תבנית ריבועית וחוק ההתמדה · ערך עצמי מקסימלי וחסם לתבנית · פולינום מינימלי של המטריצה הצמודה · העתקה נורמלית, צמודה לעצמה ואוניטרית · מטריצות נילפוטנטיות מתחלפות · משלים אורתוגונלי במכפלה לא סטנדרטית · צורת ז'ורדן של T(M)=-MU · אופרטור חיובי לחלוטין

8שאלות

מצב סימולציה: פתרו כל שאלה בעצמכם, חשפו את התשובה, וסמנו אם צדקתם. ההתקדמות נשמרת במכשיר שלכם.

0/8 נבדקו

שאלה 1

תהי התבנית הריבועית הממשית : . מצאו את הדרגה ואת הסימנית של . האם קיים בסיס שבו מיוצגת על ידי המטריצה ? נמקו !

שאלה 2

נתונה מטריצה . מצאו תבנית ריבועית המיוצגת על-ידי לפי הבסיס הסטנדרטי של . מצאו מינימלי כך ש- , לכל . נמקו !

שאלה 3

תהי מטריצה בעלת הפולינום המינימלי . האם הפולינום המינימלי של המטריצה הוא ? נמקו ! הערה : מסמן את המטריצה הצמודה ל- .

שאלה 4

נתונה טרנספורמציה נורמלית הפיכה המקיימת . 1. עבור אילו מספרים שלמים ההעתקה צמודה לעצמה ? נמקו ! 2. עבור אילו ערכים של הטרנספורמציה אוניטרית ? נמקו !

שאלה 5

נתונות ו- מטריצות נילפוטנטיות מסדר מעל השדה . מניחים ש- . האם המטריצה בהכרח נילפוטנטית ? נמקו ! האם לכל מטריצה הפיכה , המטריצה בהכרח נילפוטנטית ? נמקו !

שאלה 6

יהי . מסמן את המשלים האורתוגונלי של ביחס למכפלה הפנימית . מצאו בסיס אורתונורמלי של . האם הפולינום שייך לכל בסיס אורתוגונלי של ? נמקו ! הערה : המשלים האורתוגונלי של מוגדר ביחס למכפלה הפנימית הנתונה בשאלה הזאת.

שאלה 7

תהי . נגדיר פונקציה ליניארית על-ידי . מצאו את הפולינום המינימלי של ומצאו את צורת ז'ורדן של . האם טרנספורמציה אוניטרית ? נמקו !

שאלה 8

תהי טרנספורמציה לינארית לא סקלרית שמקיימת ו- . מצאו את צורת ז'ורדן של והוכיחו ש- טרנספורמציה חיובית לחלוטין. האם הפונקציה מהווה תבנית ריבועית חיובית לחלוטין ? נמקו ! הערה : מסמן את ההעתקה הצמודה של .

על המבחן הזה