דילוג לתוכן הראשי
0
0
עב
נוסחאון
135 נוסחאות
PDF / הדפס
מרחבי מכפלה פנימית
תבניות בילינאריות וריבועיות
פולינומים ושילוש
קיילי-המילטון וצורת ז'ורדן
פתחו הכל
מ.פ.
מרחבי מכפלה פנימית
יחידה 1 | פרקים 1-3
52 נוסחאות
אקסיומות מכפלה פנימית
הרמיטיות (סימטריה מצומדת)
מעל
זה סתם
.
לינאריות ברכיב הראשון
סקלר
יוצא חופשי מהרכיב השמאלי.
אנטי-לינאריות ברכיב השני
סקלר במקום הימני יוצא בצמוד — תוצאה של ההרמיטיות.
חיוביות
מאקסיומה זו נובע ש-
תמיד ממשי.
מכפלה סטנדרטית ב-
המודל הכי בסיסי. אנלוג מרוכב:
.
מכפלה משוקללת
כל
נותן מכפלה פנימית חוקית; אם
אקסיומת החיוביות נשברת.
מכפלה אינטגרלית על
המכפלה שמאחורי טורי פורייה ומרחבי הילברט.
נורמה, מרחק, אי-שוויונות
הגדרת הנורמה
הכללה של אורך וקטור — תמיד אי-שלילית.
הומוגניות סקלרית
במרוכב
הוא הערך המוחלט המרוכב.
אפסות הנורמה
ישיר מאקסיומת החיוביות.
נרמול וקטור
צעד ראשון בכל אלגוריתם אורתונורמלי.
מרחק בין וקטורים
מטריקה חוקית — מקיימת אי-שוויון המשולש.
אי-שוויון קושי-שוורץ
שוויון
תלויים לינארית. משפט 1.3.3.
אי-שוויון המשולש
נובע ישירות מקושי-שוורץ.
משפט פיתגורס
במרוכב הכיוון ההפוך לא בהכרח נכון. משפט 1.4.3.
אורתוגונליות ופירוק
וקטורים אורתוגונליים
ההכללה של "מאונכים" למרחבי מכפלה פנימית כלליים.
משלים אורתוגונלי
תמיד תת-מרחב לינארי, גם אם
עצמו לא כזה.
חיתוך טריוויאלי
וקטור שאורתוגונלי לעצמו חייב להיות אפס.
משפט הפירוק האורתוגונלי
כל
ניתן ביחידות
,
,
. משפט 1.6.
ספירת ממדים
תוצאה מיידית של משפט הפירוק.
משלים כפול
תקף במרחב נוצר סופית.
בסיס אורתונורמלי — דלתא של קרונקר
תיוג קומפקטי לבסיס אורתונורמלי.
מקדמי פורייה
הצגה של
בבסיס אורתונורמלי
. למה 1.5.4.
היטל אורתוגונלי
בסיס אורתונורמלי של
. זה הקירוב הטוב ביותר ב-
.
קירוב הטוב ביותר
שוויון רק עבור
.
תהליך גרם-שמידט
הופך בסיס כלשהו לבסיס אורתונורמלי השומר על ספאנים מקננים.
המרחב הדואלי וריס
המרחב הדואלי
מרחב הפונקציונלים הלינאריים. הגדרה 1.8.1.
משפט ההצגה של ריס
המכפלה הפנימית מספקת זיהוי טבעי
. משפט 1.8.6.
בניית הווקטור המייצג
בסיס אורתונורמלי; במקרה הממשי הצמוד נעלם.
ההעתקה הצמודה
המשוואה המגדירה
הקיום והיחידות מובטחים על ידי ריס. משפט 2.1.1.
מטריצת הצמודה (בסיס אורתונורמלי)
שחלוף-וצימוד. במקרה הממשי פשוט שחלוף
. משפט 2.1.3.
אינבולוציה
פעולת הצמוד שווה לזהות כשמופעלת פעמיים.
צמוד של סכום
צמוד לינארי תחת חיבור.
צמוד של סקלר
הסקלר יוצא בצמוד מרוכב — "אנטי-לינאריות".
צמוד של הרכבה (היפוך סדר)
הסדר מתהפך — בדיוק כמו בשחלוף מטריצות.
צמוד של הפכי
צמוד והפכי מתחלפים.
משפחות מיוחדות של העתקות
צמודה לעצמה (הרמיטית/סימטרית)
בבסיס אורתונורמלי: מטריצה הרמיטית (
) או סימטרית (
).
אוניטרית (אורתוגונלית)
במרחב אוקלידי קוראים לה אורתוגונלית.
אוניטרית — שמירת מכפלה ונורמה
שלושה האפיונים שקולים: אלגברי, שימור מכפלה, שימור נורמה. משפט 2.3.2.
אוניטרית מעבירה בסיס א"נ לבסיס א"נ
משפט 2.3.3.
אנטי-צמודה לעצמה
ערכיה העצמיים על הציר המדומה.
העתקה נורמלית
צמודה לעצמה, אוניטרית ואנטי-צמודה — כולן נורמליות.
נורמלית — וקטור עצמי משותף עם הצמודה
טענה 3.3. שני האופרטורים חולקים את אותם וקטורים עצמיים.
מטריצת סיבוב — אורתוגונלית
דוגמה קנונית:
.
ספקטרום של משפחות מיוחדות
צמודה לעצמה — ערכים עצמיים ממשיים
משפט 2.4.1. גם במרחב מרוכב.
צמודה לעצמה — מרחבים עצמיים אורתוגונליים
וקטורים עצמיים לערכים שונים — מאונכים אוטומטית.
אוניטרית — ערכים עצמיים על מעגל היחידה
משפט 2.4.3.
אנטי-צמודה — ערכים עצמיים על הציר המדומה
סימטריה דואלית לצמודה לעצמה.
הטלה אורתוגונלית — ספקטרום
ההטלה על תת-המרחב
במקביל ל-
.
לכסון אוניטרי וספקטרום
משפט הלכסון האוניטרי (
)
במרחב מרוכב סוף-ממדי: נורמליות
קיום בסיס אורתונורמלי של וקטורים עצמיים. משפט 3.5.
המשפט הספקטרלי הממשי
כל מטריצה ממשית סימטרית לכסינה אורתוגונלית. משפט 3.10.
חזקות ופונקציות של מטריצה נורמלית
כלי מרכזי:
,
,
— דרך האלכסון.
תבנ׳
תבניות בילינאריות וריבועיות
יחידה 2 | פרקים 4-6
27 נוסחאות
פול׳
פולינומים ושילוש
יחידה 3 | פרקים 7-8
23 נוסחאות
ז׳ורדן
קיילי-המילטון וצורת ז'ורדן
יחידה 4 | פרקים 9-11
33 נוסחאות