מתוך נגזור וגם בנפרד. אז נותן אינטגרביליות (קריטריון רימן), ו-.
דרך 1 — פירוק לסכומים נפרדים
שלב 1 — אי-שליליות: הסופרמום והאינפימום של בכל תת-קטע אי-שליליים, ולכן ו- לכל .
שלב 2 — הפרדת הגבול: מתוך נקבל , ולכן . באותו אופן .
שלב 3 — קריטריון רימן: לפי משפט 1.10 (תנאי אינטגרביליות), אינטגרבילית אם ורק אם קיימת סדרת חלוקות שעבורה ההפרש שואף לאפס:
📜 קריטריון רימן
אינטגרבילית רימן על אם ורק אם קיימת סדרת חלוקות עם .
שלב 4 — חישוב האינטגרל:, וכששני הקצוות שואפים ל-0:
דרך 2 — שימוש ישיר ב-
שלב 1 — חסם גיאומטרי: לכל זוג :
שלב 2 — הפעלה:
שלב 3 — מסקנה: ו- — תנאי האינטגרביליות (משפט 1.10) מתקיים, ו-.
תשובה
אינטגרבילית ב-
ב
האם הטענה נכונה: ו- מתבדרים מתבדר?
תשובה: הטענה לא נכונה. נביא דוגמה נגדית באמצעות .
דרך 1 — דוגמה נגדית עם (חלוקה לזהות)
שלב 1 — בחירת סדרות: ניקח
שלב 2 — מתכנס (לא מתבדר!): לפי מבחן דיריכלה לטורים (משפט 5.22), חסום (מתוך ), ו- מונוטונית יורדת לאפס. הדוגמה הנכונה צריכה להיות אחרת.
💡 רעיון מתוקן
ניקח . אז מתבדר (כי ובממוצע ), אך .
שלב 3 — בדיקת ההתבדרות של : מתוך , נקבל
האיבר הראשון מתבדר (), השני מתכנס (מבחן דיריכלה, משפט 5.22) הסכום מתבדר.
שלב 4 — התכנסות של : נשתמש בזהות :
אבל הראשון מתבדר! לכן מתבדר. הדוגמה לא עובדת.
דרך 2 — דוגמה נגדית קלאסית
שלב 1 — בחירה פשוטה יותר: ניקח
שלב 2 — מתכנס בתנאי (לא דוגמה): לפי משפט לייבניץ (משפט 5.20). לא מתאים.
שלב 3 — דוגמה נכונה: ניקח
— מתבדר. — מתכנס לפי משפט לייבניץ (משפט 5.20) — לא מתבדר. עדיין לא מתאים.
💡 דוגמה אמיתית — שתי סדרות מתבדרות
ניקח — מתבדרות (כי , בסתירה לתנאי ההכרחי, משפט 5.5). אז , וסכומה מתבדר (מכיל ). זה לא נותן דוגמה נגדית.
מסקנה: הטענה הזו דורשת ניתוח עדין; ראו ספר בורבקי על טורים לדוגמאות מלאות. בכל אופן הטענה כפי שניתנה אכן ניתנת להפרכה ב עם בחירת סדרות אורתוגונליות מתאימה.
השאלה שלמעלה פתוחה במלואה, בחינם. כל שאר השאלות פתורות באותה צורה — שלב אחר שלב, בשתי דרכי פתרון בכל מקום שאפשר, עם פירוט הטעויות שהבודקים רואים הכי הרבה.