שתי דרכים סטנדרטיות, ושתיהן מסתמכות על אותה תכונה של (קומפקטיות), רק דרך שני שערים שונים:
דרך 1 — שלילה + בולצאנו־ויירשטראס: מניחים שאין רציפות במ"ש, בונים שתי סדרות שמתקרבות זו לזו אך ערכיהן נשארים רחוקים, ומגיעים לסתירה עם הרציפות בנקודת הגבול.
דרך 2 — היינה־בורל: לכל נקודה יש פרטי; מכסים את בקטעים פתוחים, מוציאים תת-כיסוי סופי, ולוקחים מינימום — וזה בדיוק המקום שבו הסופיות הופכת אוסף אינסופי של -ים ל- אחד חיובי.