18.02.2021 · שאלון 489 · מועד 81 · חלק ראשון: שאלות 1-3 (35 נק' כל אחת, עונים על שתיים בלבד) · חלק שני: שאלות 4-8 (6 נק' כל אחת, חובה). כל סעיף פתור שלב-שלב, ובכל מקום שבו קיימות שתי דרכים אמיתיות — שתיהן מוצגות.
שלב 3 — הסתירה. רציפה ב- (הנחת השלילה) ו- רציפה ב- (נתון). לפי משפט האריתמטיקה, ההפרש רציף ב-. אבל , ולכן רציפה ב- — בסתירה לנתון ש-אינה רציפה ב-.
מסקנה. ההנחה שגויה, ולכן אינה רציפה ב-.
💡 הרעיון בשורה אחת
"רציף לא-רציף לא-רציף" — כי אילו הסכום היה רציף, היינו יכולים לחסר את החלק הרציף ולקבל שהחלק הלא-רציף רציף.
דרך 2 — דרך היינה (סדרות), ללא שלילה
📜 היינה — אפיון סדרתי של רציפות
רציפה ב- לכל סדרה (בתחום) מתקיים .
שלב 1 — מה נותנת אי-הרציפות של . אינה רציפה ב-, ולכן לפי היינה קיימת סדרה שעבורה לא מתקיים .
שלב 2 — מה נותנת הרציפות של . רציפה ב-, ולכן עבור אותה סדרה מתקיים .
שלב 3 — חיבור. נניח בכיוון ההפוך שכן . אז לפי אריתמטיקה של גבולות סדרות:
וזו סתירה לשלב 1. לכן , ולפי היינה אינה רציפה ב-.
הערה
היתרון של דרך זו: היא מוסרת עֵד קונקרטי לאי-הרציפות — אותה סדרה בדיוק שמעידה על אי-הרציפות של מעידה גם על אי-הרציפות של .
תשובה
הטענה נכונה: אינה רציפה ב-
א.2
ו- שתיהן אינן רציפות ב- — האם אינה רציפה?
(2) אם ו- אינן רציפות ב- אז אינה רציפה ב-.
📖 תוכנית פתרון
הטענה אינה נכונה, ודי בדוגמה נגדית אחת. הרעיון: אי-רציפות היא לא "תכונה שנשמרת" — שתי אי-רציפויות יכולות לבטל זו את זו בסכום.
⚠️ מה שהבודק מחפש
בסעיף "הוכיחו/הפריכו" הפרכה חייבת להיות דוגמה נגדית מפורשת — פונקציות מוגדרות היטב, נימוק קצר לכך ששתיהן אינן רציפות ב-, וחישוב של שמראה שהוא כן רציף. אמירה כללית מסוג "זה לא תמיד נכון" לא מזכה בנקודות.
דרך 1 — דוגמה נגדית קונקרטית עם קפיצה
ניקח ונגדיר על כל :
$f$
$g$
שלב 1 — אינה רציפה ב-: אבל , ולכן הגבול השמאלי שונה מערך הפונקציה.
שלב 2 — אינה רציפה ב-: אבל .
שלב 3 — הסכום: לכל (גם עבור וגם עבור ) מתקיים
כלומר היא הפונקציה הקבועה — רציפה בכל , ובפרט ב-.
לכן הטענה מופרכת.
דרך 2 — מתכון כללי: כל אי-רציפות מייצרת דוגמה נגדית
במקום לחפש דוגמה מסוימת, נראה שהטענה נכשלת תמיד, עבור כל שאינה רציפה ב-.
שלב 1 — הבנייה. תהי כלשהי שאינה רציפה ב-. נגדיר
שלב 2 — אינה רציפה ב-. אילו הייתה רציפה ב-, אז גם הייתה רציפה שם (מכפלה בקבוע שומרת רציפות) — בסתירה. לכן אינה רציפה ב-.
שלב 3 — הסכום.
פונקציית האפס רציפה בכל נקודה, ובפרט ב-.
מסקנה. לכל בחירה של לא-רציפה ב- קיימת לא-רציפה ב- שהסכום שלהן רציף — כך שהטענה אינה "כמעט נכונה", אלא נכשלת באופן שיטתי.
💡 למה בכלל יש הבדל בין (1) ל-(2)?
בסעיף (1) האיבר הרציף הפיך במסגרת המחלקה הרציפה — אפשר לחסר אותו בלי לקלקל. בסעיף (2) שני האיברים "שבורים", והשבירות שלהם יכולה להיות הפוכה בדיוק ולהתקזז.
תשובה
הטענה אינה נכונה — הופרכה בדוגמה נגדית.
ב
לכל
ב. (22 נק') הוכיחו שלכל מתקיים .
📖 תוכנית פתרון
שתי הדרכים נשענות על אותה למה אלגברית אחת, ולכן כדאי להוכיח אותה קודם ובנפרד. אחריה: דרך 1 גוזרת פונקציית הפרש ומשתמשת במונוטוניות (לגראנז'), ודרך 2 עוברת לייצוג אינטגרלי ומשווה אינטגרנדים.
📜 הלמה המרכזית
לכל מתקיים
הוכחת הלמה. שני האגפים חיוביים עבור , ולכן אי-השוויון שקול ל-
ומכיוון שגם כאן שני האגפים חיוביים, מותר להעלות בריבוע (העלאה בריבוע שומרת על כיוון אי-השוויון בין מספרים אי-שליליים):
נפתח את האגף הימני:
עבור מתקיים , ולכן
וזה בדיוק מה שרצינו. (שימו לב שאי-השוויון חד לכל .)
דרך 1 — פונקציית הפרש + משפט לגראנז'
📜 משפט לגראנז' (ערך הביניים של לגראנז')
אם רציפה ב- וגזירה ב-, קיימת כך ש-
שלב 1 — הגדרת פונקציית ההפרש. נגדיר על :
המטרה: להראות לכל .
שלב 2 — ערך התחלה., ולכן
שלב 3 — הנגזרת. גזירה ב- עם , ולכן גזירה ב- ובפרט ב-:
שלב 4 — סימן הנגזרת. לפי הלמה, לכל :
שלב 5 — הפעלת לגראנז'. יהי קבוע. רציפה ב- וגזירה ב- (שכן ). לפי לגראנז' קיימת כך ש-
מכיוון ש- מתקיים (שלב 4), וגם , ולכן
כלומר , כנדרש.
⚠️ טעות נפוצה
כתיבת " ולכן עולה ולכן " בלי לנמק היא קפיצה. הבודק רוצה לראות את הקישור: בקטע עולה ממש בקטע — וזה בעצמו נובע מלגראנז'. לכן עדיף פשוט להפעיל את לגראנז' ישירות, כמו למעלה.
דרך 2 — ייצוג אינטגרלי והשוואת אינטגרנדים
📜 מונוטוניות (חדה) של האינטגרל
אם רציפות ב- (), מתקיים בכל הקטע, ובנוסף בנקודה אחת לפחות, אז
שלב 1 — ייצוג האגף השמאלי כאינטגרל. רציפה ב-, ו- שם. לפי המשפט היסודי של החדו"א (נוסחת ניוטון-לייבניץ), לכל :
שלב 2 — ייצוג האגף הימני כאינטגרל. חישוב ישיר:
שלב 3 — השוואת האינטגרנדים. יהי . שתי הפונקציות ו- רציפות ב- (כי ). לפי הלמה,
ובנקודה מתקיים שוויון (). כלומר: אי-שוויון חלש בכל , וחד בכל נקודה פנימית.
שלב 4 — אינטגרציה. לפי מונוטוניות חדה של האינטגרל:
כנדרש.
💡 בונוס — למה דווקא ?
פיתוח מקלורן של הוא — כל המקדמים חיוביים. לכן חיתוך הטור אחרי האיבר נותן חסם תחתון. זו אינטואיציה מצוינת לבחירת האגף הימני, אבל כהוכחה היא דורשת את הטור הבינומי ואת התכנסותו ב- — מעבר לכלים שהשאלה מצפה להם. השתמשו בה כדי לנחש, ובאחת משתי הדרכים למעלה כדי להוכיח.
תשובה
לכל
עוד 7 שאלות במבחן הזה
השאלה שלמעלה פתוחה במלואה, בחינם. כל שאר השאלות פתורות באותה צורה — שלב אחר שלב, בשתי דרכי פתרון בכל מקום שאפשר, עם פירוט הטעויות שהבודקים רואים הכי הרבה.