השאלה אינה "האם קיים חסם מלעיל" — זה כבר ידוע מהמשפט הראשון של ויירשטרס. השאלה היא האם החסם העליון מתקבל, כלומר האם הוא . שתי הדרכים תוקפות בדיוק את הפער הזה:
דרך 1 בונה סדרה שמתקרבת ל- מלמטה, ומושכת ממנה — בעזרת בולצאנו-ויירשטרס — נקודה שבה הערך באמת מתקבל.
דרך 2 מניחה בשלילה שהערך לא מתקבל, ומנצלת את זה כדי לבנות פונקציה רציפה ; חסימותה (שוב לפי המשפט הראשון) מייצרת חסם מלעיל קטן מ- — סתירה.
המשפט הראשון של ויירשטרס (5.35): פונקציה רציפה בקטע סגור וחסום היא חסומה שם. (זה מה שמבטיח ש- הוא מספר ממשי ולא .)
אקסיומת השלמות: לכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלעיל של ממשיים קיים סופרמום.
בולצאנו-ויירשטרס: לכל סדרה חסומה של ממשיים יש תת-סדרה מתכנסת.
אפיון היינה לרציפות: רציפה ב- אם ורק אם לכל סדרה בתחום מתקיים .
מה נתון ומה צריך להוכיח. נתונה רציפה בקטע הסגור . יש להראות שקיימת נקודה כך ש-
בשתי הדרכים נסמן
למה בכלל קיים: (שכן ), ולפי המשפט הראשון של ויירשטרס חסומה ולכן חסומה מלעיל. אקסיומת השלמות נותנת .
דרך 1 — סדרה ממקסמת בולצאנו-ויירשטרס
שלב 1 — בניית סדרה ממקסמת. יהי . המספר קטן ממש מ-, ולכן אינו חסם מלעיל של ( הוא החסם מלעיל הקטן ביותר). לכן קיים איבר של מעליו, כלומר קיימת נקודה עם
שלב 2 — הפעלת בולצאנו-ויירשטרס. לכל מתקיים , ולכן סדרה חסומה. לפי משפט בולצאנו-ויירשטרס יש לה תת-סדרה מתכנסת
שלב 3 — הגבול נשאר בקטע (כאן נכנסת הסגירות). מ- לכל , ומשימור אי-שוויון חלש במעבר לגבול, נובע
ולכן מוגדרת ורציפה בנקודה .
שלב 4 — סנדוויץ' על הערכים. לפי שלב 1, עבור האינדקסים של תת-הסדרה,
ומכיוון ש-, שני האגפים שואפים ל-. לפי כלל הסנדוויץ'
שלב 5 — הפעלת הרציפות. לפי אפיון היינה, מרציפות ב- ומ- נובע
שלב 6 — יחידות הגבול. לסדרה יש גבול יחיד (זו בדיוק שאלה 2.א!), ולכן
מסקנה. לכל , כלומר מקבלת מקסימום בנקודה .
דרך 2 — שלילה פונקציית העזר
דרך זו אינה משתמשת בסדרות כלל — רק במשפט הראשון של ויירשטרס, פעמיים.
שלב 1 — הנחת השלילה. נניח ש- אינו מתקבל, כלומר
שלב 2 — בניית פונקציית העזר. נגדיר
לפי הנחת השלילה לכל , ולכן המכנה אינו מתאפס ו- מוגדרת היטב וחיובית ממש.
שלב 3 — רציפה. רציפה, ולכן רציפה; מנה של פונקציות רציפות שבה המכנה אינו מתאפס היא רציפה. לכן רציפה ב-.
שלב 4 — הפעלת המשפט הראשון על . רציפה בקטע סגור וחסום, ולכן חסומה: קיים כך ש-
שלב 5 — תרגום החסם חזרה ל-. מ- ומ- נובע , כלומר
שלב 6 — הסתירה. קיבלנו ש- הוא חסם מלעיל של , והוא קטן ממש מ- — בסתירה לכך ש- הוא החסם מלעיל הקטן ביותר.
מסקנה. הנחת השלילה שגויה, ולכן קיימת עם — מקבלת מקסימום.
זהו הטריק הסטנדרטי "להפוך אי-קבלה לאי-חסימות": כש- מתקרבת ל- בלי לגעת בו, המכנה מתקרב ל- בלי להתאפס — ולכן צריכה להתפוצץ. אבל פונקציה רציפה בקטע סגור אינה מתפוצצת. אותו טריק בדיוק מופיע בהוכחות של "פונקציה רציפה שאינה מתאפסת בקטע סגור חסומה מלרע בערך מוחלט".