שאלון 481, מועד 86, 13.07.2023. פתרון מלא לכל השאלות — חלק ראשון (1-4, עונים על שלוש בלבד) וחלק שני (5-9, חובה). בכל סעיף שבו קיימות שתי דרכים אמיתיות מוצגות שתיהן; בסעיפים שבהם יש דרך אחת בלבד — כך נאמר במפורש, ומוסבר מדוע היריבה המתבקשת נכשלת.
משפט קנטור — רציפות בקטע סגור גוררת רציפות במידה שווה
1
הוכחת משפט 5.48
הוכיחו את משפט קנטור (משפט 5.48):
פונקציה ממשית שהיא רציפה בקטע סגור , רציפה בו במידה שווה.
📖 תוכנית פתרון
כל הוכחה של המשפט חייבת לנצל פעמיים את המבנה של : פעם אחת את החסימות ופעם אחת את הסגירות. ההבדל בין שתי הדרכים הוא במנגנון שמייצר את הנקודה שבה נשענים על הרציפות המקומית.
דרך 1 — שלילה, בניית שתי סדרות נקודות, ומשפט בולצאנו־ויירשטרס לייצור נקודת ההצטברות. זו הדרך הקצרה והצפויה.
דרך 2 — הוכחה ישירה (בלי הנחת שלילה) הנשענת על אקסיומת השלמות בלבד: "זחילה" לאורך הקטע, שבה לוקחים סופרמום של קבוצת הנקודות שעד אליהן כבר הצלחנו, ומראים שהסופרמום הוא עצמו.
📜 משפטי מפתח
רציפות במידה שווה ב-:.
משפט בולצאנו־ויירשטרס: לכל סדרה חסומה של ממשיים יש תת-סדרה מתכנסת.
אפיון היינה לרציפות: רציפה ב- אם ורק אם לכל סדרה (בתחום) מתקיים .
אקסיומת השלמות: לכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלעיל של ממשיים קיים חסם עליון מדויק.
דרך 1 — שלילה בולצאנו־ויירשטרס היינה
שלב 1 — ניסוח המטרה. יש להוכיח שלכל קיים כך שלכל המקיימים מתקיים .
שלב 2 — שלילת ההנחה. נניח ש-אינה רציפה במידה שווה ב-. שלילת ההגדרה אומרת: קיים כך שלכל קיימות נקודות עם
שלב 3 — בניית שתי סדרות. נפעיל את שלב 2 עם עבור כל . נקבל נקודות המקיימות
שלב 4 — הפעלת בולצאנו־ויירשטרס (כאן נכנסת החסימות). לכל מתקיים , ולכן הסדרה חסומה. לפי המשפט קיימת תת-סדרה מתכנסת
שלב 5 — הגבול נשאר בקטע (כאן נכנסת הסגירות). לכל מתקיים ; מעבר לגבול באי-שוויונות חלשים נותן
ולכן רציפה ב- (בקצוות מדובר ברציפות חד-צדדית, וזה מספיק שכן כל האיברים שייכים ל-).
שלב 6 — גם התת-סדרה השנייה שואפת ל-. לכל ,
שני המחוברים שואפים ל- (שכן ), ולכן .
שלב 7 — מעבר לגבול בערכי הפונקציה. לפי אפיון היינה לרציפות, מ- ומ- נובע ו-, ולכן לפי אריתמטיקה של גבולות
שלב 8 — הסתירה. מצד שני, לפי הבנייה בשלב 3 מתקיים לכל . מעבר לגבול באי-שוויון חלש נותן
— סתירה. לכן ההנחה בשלב 2 שגויה, ו- רציפה במידה שווה ב-.
דרך 2 — הוכחה ישירה: "זחילה" לאורך הקטע (אקסיומת השלמות בלבד)
דרך זו אינה מניחה בשלילה דבר, ואינה משתמשת בבולצאנו־ויירשטרס: היא בונה את ה- המבוקש ע"י סופרמום של קבוצת "הנקודות שעד אליהן כבר הצלחנו".
שלב 1 — קיבוע והגדרת קבוצת ההצלחה. יהי קבוע. נגדיר
במילים: אם על הקטע ההתחלתי כבר קיים טוב עבור ה- הזה.
שלב 2 — אינה ריקה וחסומה מלעיל.: הקטע הוא נקודה בודדת, וכל מתאים שכן . כמו כן ולכן חסם מלעיל. לפי אקסיומת השלמות קיים
שלב 3 — הפעלת הרציפות בנקודה . רציפה ב-, ולכן קיים כך שלכל עם מתקיים . מכאן, לכל שתי נקודות ,
שלב 4 — בחירת נקודת אחיזה ב-. המספר קטן מ-, ולכן אינו חסם מלעיל של ; קיים עם
(אם ניקח , והאי-שוויון מתקיים אף הוא). יהי ה- המתאים ל- מהגדרת .
שלב 5 — צעד קדימה. נסמן ונבחר
נראה ש- עם ה- הזה. יהיו עם .
אם וגם : שתי הנקודות ב- ו-, ולכן לפי הגדרת מתקיים .
אחרת: אחת מהן, נניח , מקיימת . אז , וגם . לכן שתיהן בסביבה , ולפי שלב 3 .
בשני המקרים , כלומר .
שלב 6 — מסקנה: ו-. אילו היה , היינו מקבלים ו- — בסתירה לכך ש- חסם מלעיל של . לכן , ואז שלב 5 נותן .
שלב 7 — סיום. פירושו: קיים כך שלכל עם מתקיים . מכיוון ש- היה שרירותי, זו בדיוק ההגדרה של רציפות במידה שווה ב-.
💡 מה בדיוק שונה בין הדרכים
דרך 1 מייצרת נקודה אחת שבה הרציפות נשברת (נקודת הצטברות של הסדרות) ומגיעה לסתירה; דרך 2 אינה מייצרת נקודה בעייתית כלל אלא בונה את ה- הסופי, קטע אחרי קטע, ומשתמשת בסגירות רק בשלב 6 (הסופרמום עצמו שייך ל-, ולכן רציפה בו). לכן דרך 2 היא הוכחה קונסטרוקטיבית וישירה — ואין בה הנחת שלילה.
תשובה
!
מה הבודק מחפש — ואיפה המשפט נשבר
⚠️ דברים שהבודק מחפש
1. שלילה נכונה של ההגדרה. — סדר הכמתים הוא כל התרגיל. מי שכותב "לכל קיים כך ש..." ומתחיל להפריך, מפסיד את הניקוד כבר בשורה הראשונה.
2. הוכחה מפורשת ש-. זה שלב 6, והוא הכי מדולג. בלעדיו אי אפשר להפעיל את היינה על הסדרה השנייה.
3. ציון היכן נכנסת הסגירות — היא נחוצה בדיוק פעם אחת, כדי ש- ולכן רציפה ב-.
4. שימוש בתת-סדרה, לא בסדרה. בולצאנו־ויירשטרס אינו אומר ש- מתכנסת, אלא שיש לה תת-סדרה מתכנסת; ההמשך כולו חייב להיות לאורך אותם אינדקסים .
💡 שתי דוגמאות שמראות שכל הנחה הכרחית
סגירות: רציפה ב- אך אינה רציפה שם במידה שווה: עבור , מתקיים אך לכל .
חסימות: רציפה ב- אך אינה רציפה שם במידה שווה: עבור , מתקיים אך .
עוד 8 שאלות במבחן הזה
השאלה שלמעלה פתוחה במלואה, בחינם. כל שאר השאלות פתורות באותה צורה — שלב אחר שלב, בשתי דרכי פתרון בכל מקום שאפשר, עם פירוט הטעויות שהבודקים רואים הכי הרבה.