שאלון 81, 31.01.2023. פתרון מלא לכל השאלות — חלק ראשון (1-4, עונים על שלוש בלבד) וחלק שני (5-9, חובה). בכל סעיף שבו קיימות שתי דרכים אמיתיות מוצגות שתיהן; בסעיפים שבהם יש דרך אחת בלבד — כך נאמר במפורש.
הוכיחו את המשפט הראשון של ויירשטרס (משפט 5.35): פונקציה ממשית שהיא רציפה בקטע סגור , חסומה בקטע זה.
📖 תוכנית פתרון
שתי דרכים קלאסיות, ושתיהן חייבות לנצל את שתי ההנחות — שהקטע סגור ושהוא חסום. דרך 1 מניחה בשלילה שאין חסם, בונה סדרה "בורחת", ומפעילה עליה את משפט בולצאנו-ויירשטרס. דרך 2 לא משתמשת בסדרות כלל: היא מגדירה את קבוצת הנקודות שעד אליהן כבר חסומה, ומראה בעזרת אקסיומת השלמות (סופרמום) שהקבוצה הזו מגיעה עד .
📜 משפטי מפתח
בולצאנו-ויירשטרס: לכל סדרה חסומה של ממשיים יש תת-סדרה מתכנסת.
קריטריון היינה לרציפות: רציפה ב- אם ורק אם לכל סדרה (בתחום) מתקיים .
אקסיומת השלמות: לכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלעיל של ממשיים יש סופרמום.
דרך 1 — שלילה בולצאנו-ויירשטרס
שלב 1 — הנחת השלילה ובניית סדרה. נניח בשלילה ש-אינה חסומה ב-. אז אף מספר אינו חסם ל-, ובפרט לכל המספר אינו חסם — כלומר קיימת נקודה עם
שלב 2 — הפעלת בולצאנו-ויירשטרס. לכל מתקיים , ולכן הסדרה חסומה. לפי משפט בולצאנו-ויירשטרס קיימת לה תת-סדרה מתכנסת:
שלב 3 — הגבול נשאר בקטע (כאן נכנסת הסגירות). מ- לכל ומשימור אי-שוויון חלש בגבול נובע , כלומר
ולכן מוגדרת ורציפה ב-.
שלב 4 — סתירה. לפי קריטריון היינה, מרציפות ב- נובע
כל סדרה מתכנסת היא חסומה, ולכן הסדרה חסומה. מצד שני, לפי הבנייה
כלומר אינה חסומה — סתירה.
מסקנה. הנחת השלילה שגויה, ולכן חסומה ב-.
דרך 2 — סופרמום של קבוצת הנקודות ה"טובות"
דרך זו נמנעת לחלוטין מסדרות ומשתמשת רק באקסיומת השלמות.
שלב 1 — הגדרת הקבוצה. נגדיר
שכן ( חסומה ב- על ידי ). כמו כן ולכן חסומה מלעיל על ידי . לפי אקסיומת השלמות קיים
שלב 2 — רציפות ב- נותנת חסם מקומי., ולכן רציפה ב-. נבחר : קיים כך שלכל עם מתקיים , ולכן
שלב 3 — הוכחה ש-. מכיוון ש- ו-, המספר אינו חסם מלעיל של , ולכן קיים עם . מהגדרת , קיים כך ש- ב-. בנוסף , ושם לפי שלב 2. לכן
כלומר חסומה ב-, ומכאן .
שלב 4 — הוכחה ש-. נניח בשלילה . נסמן , ואז . הקטע מוכל ב-, ולכן לפי שלב 2 מתקיים בו . יחד עם החסימות ב- (שלב 3) מקבלים ש- חסומה ב-, כלומר . אבל — סתירה.
לכן , ולפי שלב 3 , כלומר חסומה ב-.
תשובה
רציפה ב- חסומה ב-
!
מה הבודק מחפש — ואיפה המשפט נשבר
⚠️ דברים שהבודק מחפש
1. היכן השתמשתם בסגירות? בדרך 1 — בשלב 3, בקביעה ; בדרך 2 — בכך ש- ולכן רציפה שם. סטודנטים רבים "שוכחים" לנמק את זה, וזה הניקוד שנופל.
2. היכן השתמשתם בחסימות הקטע? בדרך 1 — בכך ש- חסומה ולכן חלה עליה בולצאנו-ויירשטרס; בדרך 2 — בכך ש- חסומה מלעיל.
3. ציטוט מפורש של בולצאנו-ויירשטרס ושל קריטריון היינה (או של אקסיומת השלמות בדרך 2).
💡 למה שתי ההנחות הכרחיות
הקטע חייב להיות חסום: רציפה ב- ואינה חסומה.
הקטע חייב להיות סגור: רציפה ב- ואינה חסומה שם. בדיוק כאן דרך 1 נשברת — הסדרה מתכנסת ל-, אבל , ולכן שלב 3 נכשל.
עוד 8 שאלות במבחן הזה
השאלה שלמעלה פתוחה במלואה, בחינם. כל שאר השאלות פתורות באותה צורה — שלב אחר שלב, בשתי דרכי פתרון בכל מקום שאפשר, עם פירוט הטעויות שהבודקים רואים הכי הרבה.