שאלון 481, מועד 86, 13.02.2023. פתרון מלא לכל השאלות — חלק ראשון (1-4, עונים על שלוש בלבד) וחלק שני (5-9, חובה). בכל סעיף שבו קיימות שתי דרכים אמיתיות מוצגות שתיהן; בסעיפים שבהם יש דרך אחת בלבד — כך נאמר במפורש, ומוסבר מדוע הדרך המתחרה המתבקשת נכשלת.
פונקציה רציפה בקטע סגור מקבלת בו מינימום ומקסימום.
מספיק להוכיח רק את קיום המקסימום.
📖 תוכנית פתרון
בשתי הדרכים האובייקט המרכזי הוא אותו מספר — — והשאלה היחידה היא כיצד מייצרים נקודה שבה הערך מתקבל.
דרך 1 מניחה בשלילה ש- אינו מתקבל, ובונה מכך פונקציית עזר רציפה שחסימותה מובילה לסתירה. היא נשענת על המשפט הראשון של ויירשטרס (רציפה בקטע סגור חסומה).
דרך 2 בונה סדרה שלאורכה , ומפיקה את הנקודה ישירות ממשפט בולצאנו-ויירשטרס ומאפיון היינה לרציפות — בלי להשתמש כלל במשפט הראשון (למעשה היא מוכיחה גם אותו בדרך אגב).
📜 משפטי מפתח
המשפט הראשון של ויירשטרס: פונקציה רציפה בקטע סגור חסומה בו.
אקסיומת השלמות: לקבוצה לא ריקה של ממשיים החסומה מלעיל יש חסם עליון (סופרמום).
משפט בולצאנו-ויירשטרס: לכל סדרה חסומה של ממשיים יש תת-סדרה מתכנסת.
אפיון היינה לרציפות: רציפה ב- אם ורק אם לכל סדרה בתחום מתקיים .
מה בדיוק יש להוכיח. תהי רציפה בקטע הסגור . יש להוכיח שקיימת נקודה כך שלכל מתקיים .
דרך 1 — פונקציית העזר (הוכחה בשלילה)
שלב 1 — חסימות. לפי המשפט הראשון של ויירשטרס, חסומה ב-. לכן קבוצת הערכים
היא לא ריקה () וחסומה מלעיל.
שלב 2 — קיום הסופרמום. לפי אקסיומת השלמות קיים
ולפי הגדרת הסופרמום לכל .
שלב 3 — הנחת השלילה. נניח בשלילה ש-אינו מתקבל, כלומר
אז לכל .
שלב 4 — בניית פונקציית העזר. נגדיר
המכנה רציף (הפרש של קבוע ופונקציה רציפה) ואינו מתאפס לפי שלב 3, ולכן רציפה ב-; כמו כן לכל .
שלב 5 — הפעלה חוזרת של המשפט הראשון. רציפה בקטע הסגור , ולכן חסומה בו: קיים כך ש- לכל .
שלב 6 — תרגום החסם חזרה ל-. שני האגפים ב- חיוביים, ולכן
שלב 7 — הסתירה. המספר הוא חסם מלעיל של , והוא קטן ממש מ- (שכן ) — בסתירה לכך ש- הוא החסם העליון הקטן ביותר של .
מסקנה. הנחת השלילה נפלה, ולכן קיימת עם , ולכל מתקיים .
דרך 2 — סדרה מקסימלית בולצאנו-ויירשטרס היינה
דרך זו אינה מניחה מראש ש- חסומה: היא מטפלת בשני המקרים ( סופי או ) באותה נשימה, ולכן מוכיחה גם את המשפט הראשון.
שלב 1 — הגדרת במובן הרחב. נסמן ו-, כאשר אם חסומה מלעיל, ו- אחרת.
שלב 2 — בניית סדרה שלאורכה מתקרבים ל-. לכל נבחר כך ש:
אם : — בחירה אפשרית, שכן אינו חסם מלעיל של .
אם : — בחירה אפשרית, שכן אינה חסומה מלעיל.
בשני המקרים (במובן הרחב במקרה השני).
שלב 3 — הפעלת בולצאנו-ויירשטרס. כלואה ב- ולכן חסומה, ולכן יש לה תת-סדרה מתכנסת
שלב 4 — הגבול נשאר בקטע (כאן, ורק כאן, נחוצה הסגירות). לכל מתקיים ; אי-שוויון חלש נשמר במעבר לגבול, ולכן
שלב 5 — הפעלת אפיון היינה. רציפה ב-, ולכן
שלב 6 — יחידות הגבול. היא תת-סדרה של , השואפת ל-, ולכן היא עצמה שואפת ל-. משלב 5 היא שואפת ל-, שהוא מספר ממשי. לכן
בפרט האפשרות נשללה — כלומר חסומה מלעיל — והסופרמום מתקבל בנקודה .
מסקנה. לכל .
💡 מה בדיוק שונה בין הדרכים
דרך 1 מניחה את חסימות (המשפט הראשון) ומשתמשת ברציפות רק כדי לבנות את ; דרך 2 אינה מניחה חסימות כלל, ומשתמשת ברציפות דרך אפיון היינה על תת-סדרה. לכן דרך 2 עוברת מילה במילה גם כשמחליפים את הקטע הסגור בקבוצה סגורה וחסומה כללית, בעוד דרך 1 נסמכת על משפט שנוסח לקטע.
תשובה
!
המינימום, ומה הבודק מחפש
המינימום — באותו אופן
מפעילים את מה שהוכח על הפונקציה , שגם היא רציפה ב-. אם מקבלת מקסימום בנקודה , אז מקבלת ב- מינימום.
⚠️ דברים שהבודק מחפש
1. הצדקת קיום הסופרמום — חסימות (המשפט הראשון) ואחריה אקסיומת השלמות. דילוג על השלב הזה הוא הניכוי הנפוץ ביותר: בלי חסימות אין בכלל ממשי לדבר עליו.
2. בדרך 1 — לומר במפורש שהמכנה אינו מתאפס. רציפות נשענת על כך, ואי-האיפוס הוא בדיוק הנחת השלילה. מי שכתב את בלי המשפט הזה קפץ מעל הלב של ההוכחה.
3. בדרך 2 — לנמק ש-. זו הנקודה היחידה שבה נכנסת סגירות הקטע, והיא הסיבה שהמשפט נכון.
💡 היכן נחוצה סגירות הקטע
בקטע פתוח המשפט אינו נכון — בקטע רציפה וחסומה ואינה מקבלת בו לא מינימום ולא מקסימום.
עוד 8 שאלות במבחן הזה
השאלה שלמעלה פתוחה במלואה, בחינם. כל שאר השאלות פתורות באותה צורה — שלב אחר שלב, בשתי דרכי פתרון בכל מקום שאפשר, עם פירוט הטעויות שהבודקים רואים הכי הרבה.