שאלון 516, מועד 91, 17.11.2022. פתרון מלא לכל השאלות — חלק ראשון (1-4, עונים על שלוש בלבד) וחלק שני (5-9, חובה). בכל סעיף שבו קיימות שתי דרכים אמיתיות מוצגות שתיהן; בסעיפים שבהם יש דרך אחת בלבד — כך נאמר במפורש, ומוסבר מדוע הדרך המתחרה נכשלת.
תהי סדרה יורדת של קטעים סגורים , המקיימת את התנאים:
(1) כל קטע מכיל את הקטע הבא אחריו: .
(2) אורך הקטע שואף לאפס: .
אז קיימת נקודה אחת ויחידה , המשותפת לכל הקטעים, כלומר , והנקודה נתונה ע"י הנוסחאות .
📖 תוכנית פתרון
הטענה מורכבת משלושה חלקים שיש להוכיח בנפרד: קיום נקודה בחיתוך, יחידות שלה, וזיהוי שלה כגבול המשותף של שתי סדרות הקצוות. היחידות והזיהוי זהים בשתי הדרכים — הם נובעים ישירות מתנאי (2). ההבדל האמיתי בין הדרכים הוא כיצד מייצרים את הנקודה.
דרך 1 מתרגמת את ההכלה למונוטוניות של ושל ומפעילה את משפט הסדרה המונוטונית.
דרך 2 מתעלמת מהמונוטוניות לחלוטין ומפעילה את משפט בולצאנו-ויירשטרס על הסדרה החסומה — הנקודה מתקבלת כגבול של תת-סדרה.
📜 משפטי מפתח
משפט הסדרה המונוטונית: סדרה מונוטונית וחסומה מתכנסת; סדרה עולה מתכנסת ל- שלה, וסדרה יורדת מתכנסת ל- שלה.
משפט בולצאנו-ויירשטרס: לכל סדרה חסומה של ממשיים יש תת-סדרה מתכנסת.
שימור אי-שוויון חלש בגבול: אם לכל ו-, אז . (אי-שוויון חד אינו נשמר בגבול — ולכן כל האומדנים כאן נכתבים כאי-שוויונות חלשים.)
דרך 1 — מונוטוניות משפט הסדרה המונוטונית
שלב 1 — תרגום ההכלה לאי-שוויונות. ההכלה , כלומר , שקולה בדיוק לשני האי-שוויונות
כלומר עולה במובן החלש ו- יורדת במובן החלש.
שלב 2 — חסימות. כל קטע אינו ריק, ולכן . בצירוף שלב 1 מקבלים לכל
לכן חסומה מלעיל ע"י ו- חסומה מלרע ע"י .
שלב 3 — התכנסות. לפי משפט הסדרה המונוטונית קיימים הגבולות
שלב 4 — שני הגבולות שווים. לפי אריתמטיקה של גבולות ותנאי (2),
ובכך כבר הוכחה הנוסחה .
שלב 5 — שייכת לכל קטע. נקבע . מכיוון ש- ו- הוא אחד מאיברי אותה קבוצה, ; מכיוון ש- ו- הוא אחד מאיברי אותה קבוצה, . לכן
כלומר . כאן — ורק כאן — נכנסת לשימוש סגירות הקטעים.
שלב 6 — יחידות. יהי . לכל גם וגם שייכות ל-, ולכן המרחק ביניהן אינו עולה על אורך הקטע:
מספר קבוע אי-שלילי החסום ע"י כל איבר של סדרה השואפת לאפס שווה ל-, ולכן .
מסקנה. ו-.
דרך 2 — בולצאנו-ויירשטרס (בלי להזכיר מונוטוניות)
דרך זו אינה משתמשת בכך ש- עולה ו- יורדת, אלא בהכלה עצמה ובחסימות בלבד.
שלב 1 — חסימות. לכל מתקיים , ולכן
בפרט חסומה.
שלב 2 — הפעלת בולצאנו-ויירשטרס. קיימת תת-סדרה מתכנסת
שלב 3 — שייכת לכל קטע. נקבע . מתנאי (1) ההכלה חוזרת: לכל . לכן לכל שעבורו מתקיים , כלומר
זהו אי-שוויון חלש המתקיים לכל גדול מספיק, ומעבר לגבול ב- שומר עליו:
הדבר נכון לכל , ולכן — החיתוך אינו ריק.
שלב 4 — יחידות. בדיוק כמו בדרך 1: אם גם בחיתוך, אז ולכן .
שלב 5 — הנוסחאות לגבולות מתקבלות כאן כמסקנה. משלב 3 נובע לכל, ולכן
כלומר, לפי כלל הסנדוויץ', וגם — הסדרות המלאות מתכנסות, ולא רק התת-סדרה שממנה יצאנו.
💡 מה בדיוק שונה בין הדרכים
דרך 1 מייצרת את כ- של סדרת הקצוות השמאליים ונשענת על מונוטוניות; דרך 2 מייצרת את כגבול של תת-סדרה שרירותית ונשענת על חסימות בלבד. לכן דרך 2 מנוסחת בשפה שאינה מזכירה קצוות כלל, ואילו דרך 1 בנויה כולה סביבם.
תשובה
!
מה הבודק מחפש — ואיפה המשפט נשבר
⚠️ שלוש נקודות שמורידות ניקוד
1. הוכחה ש- לכל — ולא רק בגבול. רבים מוכיחים ש- מתכנסת ומסיקים מיד ש- בחיתוך. נדרש נימוק מפורש: סופרמום (דרך 1) או שימור אי-שוויון חלש בגבול (דרך 2).
2. הוכחת היחידות בנפרד. נדרשת נקודה אחת ויחידה; מי שהוכיח רק שהחיתוך אינו ריק לא ענה על כל השאלה.
3. ציון מפורש היכן משמש תנאי (2). הוא נחוץ לשוויון וליחידות, ואינו נחוץ לקיום.
💡 שלוש דוגמאות שמראות שכל הנחה הכרחית
סגירות: — קטעים מקוננים שאורכם שואף לאפס, אך .
חסימות: — קבוצות סגורות מקוננות, אך .
תנאי (2): לכל — החיתוך אינו ריק אך אינו נקודה יחידה: .
עוד 8 שאלות במבחן הזה
השאלה שלמעלה פתוחה במלואה, בחינם. כל שאר השאלות פתורות באותה צורה — שלב אחר שלב, בשתי דרכי פתרון בכל מקום שאפשר, עם פירוט הטעויות שהבודקים רואים הכי הרבה.