שאלון 516, מועד 82, 12.09.2022. פתרון מלא לכל השאלות — חלק ראשון (1-4, עונים על שלוש בלבד) וחלק שני (5-9, חובה, רב-ברירה). בכל סעיף שבו קיימות שתי דרכים אמיתיות מוצגות שתיהן; בשלושת הסעיפים שבהם יש דרך אחת כנה בלבד — כך נאמר במפורש, ומוסבר מדוע היריבה המתבקשת נכשלת.
תהי סדרה יורדת של קטעים סגורים , המקיימת את התנאים:
(1) כל קטע מכיל את הקטע הבא אחריו: .
(2) אורך הקטע שואף לאפס: .
אז קיימת נקודה אחת ויחידה , המשותפת לכל הקטעים, כלומר , והנקודה נתונה ע"י הנוסחאות .
📖 תוכנית פתרון
יש להוכיח שלושה דברים נפרדים: קיום נקודה בחיתוך, יחידות שלה, וזיהוי שלה כגבול שתי סדרות הקצוות. היחידות זהה בשתי הדרכים — היא נובעת ישירות מתנאי (2). ההבדל האמיתי בין הדרכים הוא בשאלה מהיכן מייצרים את הנקודה.
דרך 1 מתרגמת את ההכלה למונוטוניות של סדרות הקצוות ומפעילה את משפט הסדרה המונוטונית.
דרך 2 אינה נוגעת במונוטוניות כלל: היא מפעילה את משפט בולצאנו-ויירשטרס על הסדרה החסומה ומקבלת את הנקודה כגבול של תת-סדרה.
📜 משפטי מפתח
משפט הסדרה המונוטונית: סדרה מונוטונית וחסומה מתכנסת; סדרה עולה מתכנסת ל- שלה וסדרה יורדת ל- שלה.
משפט בולצאנו-ויירשטרס: לכל סדרה חסומה של ממשיים קיימת תת-סדרה מתכנסת.
שימור אי-שוויון חלש בגבול: אם לכל ו-, אז .
דרך 1 — מונוטוניות משפט הסדרה המונוטונית
שלב 1 — תרגום ההכלה לאי-שוויונות. ההכלה שקולה בדיוק לשני האי-שוויונות
כלומר עולה במובן החלש ו- יורדת במובן החלש.
שלב 2 — חסימות. הקטע אינו ריק, ולכן לכל . בצירוף שלב 1 מקבלים
לכן חסומה מלעיל ע"י , ו- חסומה מלרע ע"י .
שלב 3 — התכנסות. לפי משפט הסדרה המונוטונית קיימים הגבולות
שלב 4 — שני הגבולות שווים. לפי אריתמטיקה של גבולות ותנאי (2),
ובכך כבר הוכחה הנוסחה .
שלב 5 — שייכת לכל קטע. נקבע . מכיוון ש- ו- הוא אחד מאיברי הקבוצה, ; מכיוון ש- ו- הוא אחד מאיברי הקבוצה, . לכן
כלומר . כאן — ורק כאן — נכנסת סגירות הקטעים לשימוש.
שלב 6 — יחידות. יהי כלשהו. לכל גם וגם שייכות ל-, ולכן המרחק ביניהן אינו עולה על אורך הקטע:
מספר קבוע אי-שלילי הקטן או שווה לכל איבר של סדרה השואפת לאפס הוא בהכרח , ולכן .
מסקנה. ו-.
דרך 2 — בולצאנו-ויירשטרס (בלי מונוטוניות כלל)
דרך זו אינה משתמשת בכך ש- עולה ו- יורדת, אלא רק בהכלה עצמה ובחסימות.
שלב 1 — חסימות. לכל מתקיים , ולכן
בפרט הסדרה חסומה.
שלב 2 — הפעלת בולצאנו-ויירשטרס. קיימת תת-סדרה מתכנסת
שלב 3 — שייכת לכל קטע. נקבע . לכל שעבורו מתקיים (הכלה חוזרת, מתנאי (1)), ולכן
זהו אי-שוויון חלש המתקיים לכל גדול מספיק; מעבר לגבול ב- שומר עליו:
הדבר נכון לכל , ולכן — החיתוך אינו ריק.
שלב 4 — יחידות. בדיוק כמו בדרך 1: אם גם בחיתוך אז , ולכן .
שלב 5 — הנוסחאות לגבולות מתקבלות "בחינם". משלב 3 נובע לכל, ולכן
כלומר, לפי כלל הסנדוויץ', וגם — הסדרות כולן מתכנסות, ולא רק תת-הסדרה שנבחרה.
💡 מה בדיוק שונה בין הדרכים
דרך 1 מייצרת את כ- של סדרת הקצוות השמאליים, ונשענת על המונוטוניות שההכלה מספקת. דרך 2 מייצרת את כגבול של תת-סדרה שרירותית, ונשענת על חסימות בלבד — ההנחה על סדר הקצוות אינה בשימוש. לכן דרך 2 עוברת מילה במילה לכל סדרה מקוננת של קבוצות סגורות וחסומות, בעוד דרך 1 מנוסחת בשפת הקצוות ואינה עוברת ישירות.
תשובה
!
מה הבודק מחפש — ואיפה המשפט נשבר
⚠️ דברים שהבודק מחפש
1. הוכחה ש- לכל — ולא רק בגבול. זו הנקודה שבה נופלים הכי הרבה נבחנים: מוכיחים ש- מתכנסת ומסיקים מיד ש- בחיתוך. נדרש נימוק מפורש (סופרמום, או שימור אי-שוויון בגבול).
2. הוכחת היחידות בנפרד. השאלה מבקשת נקודה "אחת ויחידה"; מי שהוכיח רק שהחיתוך אינו ריק לא סיים.
3. ציון מפורש היכן נעשה שימוש בתנאי (2). הוא נחוץ ליחידות ולשוויון — ולא לקיום.
💡 שלוש דוגמאות שמראות שכל הנחה הכרחית
סגירות: — קטעים מקוננים שאורכם שואף לאפס, אך .
חסימות: — קטעים סגורים מקוננים, אך (כאן, כמובן, גם תנאי (2) אינו מתקיים).
תנאי (2): לכל — החיתוך אינו ריק, אך אינו נקודה יחידה: .
עוד 8 שאלות במבחן הזה
השאלה שלמעלה פתוחה במלואה, בחינם. כל שאר השאלות פתורות באותה צורה — שלב אחר שלב, בשתי דרכי פתרון בכל מקום שאפשר, עם פירוט הטעויות שהבודקים רואים הכי הרבה.