דרך 1 היא בדיוק מה שההדרכה מבקשת: מוכיחים למה על נקודת האמצע, חוצים שוב ושוב, ומקבלים סדרת קטעים מקוננים שאורכם שואף לאפס; שתי סדרות הקצוות מונוטוניות וחסומות, ולכן מתכנסות לאותה נקודה , ורציפות מכריחה .
דרך 2 מוותרת על סדרות לגמרי: מגדירים , לוקחים , ופוסלים בזה אחר זה את ואת בעזרת שמירת הסימן של פונקציה רציפה.
שתי הדרכים חייבות להישען על שלמות — פעם דרך משפט הסדרה המונוטונית ופעם דרך קיום העליון. זה לא מקרי: המשפט פשוט אינו נכון בלי השלמות (ראו הטיפ בסוף השאלה).
משפט הסדרה המונוטונית: סדרה עולה וחסומה מלעיל מתכנסת (לסופרמום שלה), וסדרה יורדת וחסומה מלרע מתכנסת (לאינפימום שלה).
אפיון היינה לרציפות: רציפה ב- אם ורק אם לכל סדרה בתחום מתקיים .
אקסיומת השלמות: לכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלעיל של ממשיים קיים סופרמום.
משפט שמירת הסימן: אם רציפה ב- ו-, אז קיימת סביבה של שבה (ובאופן דומה עבור ).
דרך 1 — שיטת החציה (בדיוק לפי ההדרכה שבשאלה)
שלב 0 — צמצום לנוח. נתון , כלומר ו- בעלי סימנים מנוגדים. לפי ההערה שבשאלה נניח
המקרה השני מטופל על ידי החלפת ב-, שהיא רציפה ובעלת אותן נקודות אפס בדיוק.
שלב 1 — הלמה של ההדרכה. יהי קטע טוב, כלומר , ותהי נקודת האמצע. נבדוק את הסימן של :
אם — סיימנו, מצאנו אפס.
אם — אז , כלומר הוא קטע טוב.
אם — אז , כלומר הוא קטע טוב.
שלושת המקרים מכסים את כל האפשרויות, ולכן הלמה הוכחה. (הלמה)
שלב 2 — בניית סדרת הקטעים. נסמן — קטע טוב לפי שלב 0. בהינתן קטע טוב נחשב . אם — עצרנו, והמשפט הוכח (ראו שלב 6). אחרת, לפי הלמה, אחד משני חצאי הקטע הוא טוב, ואותו נגדיר להיות .
שלב 3 — תכונות הבנייה. אם התהליך אינו נעצר, קיבלנו קטעים מקוננים
כולם טובים — כלומר לכל — ואורכם
שלב 4 — התכנסות לנקודה משותפת. מהקינון, עולה (לא יורדת) וחסומה מלעיל ע"י , ו- יורדת (לא עולה) וחסומה מלרע ע"י . לפי משפט הסדרה המונוטונית שתיהן מתכנסות: , , ומאריתמטיקה של גבולות
כמו כן , ולכן — ובפרט מוגדרת ורציפה ב-.
שלב 5 — הפעלת הרציפות (אפיון היינה). רציפה ב-, ולכן וגם . מעבר לגבול באי-שוויונות מחליש אותם לאי-שוויונות חלשים:
משני אלה יחד .
שלב 6 — הנקודה נמצאת בקטע הפתוח. בשני המסלולים (עצירה ב- או מעבר לגבול) קיבלנו עם . מכיוון ש- ו-, בהכרח ו-, ולכן .
דרך 2 — טיעון עליון (אקסיומת השלמות, ללא בניית סדרה)
אותה הנחה כמו בשלב 0 של דרך 1: .
שלב 1 — הגדרת הקבוצה. נגדיר
הקבוצה אינה ריקה ( שכן ) וחסומה מלעיל ע"י , ולכן לפי אקסיומת השלמות קיים
שלב 2 — שלילת . אילו , אז (שהרי ), ומשמירת הסימן קיימת סביבה ימנית של שבה . בפרט קיימת נקודה עם ו-, כלומר — בסתירה לכך ש- חסם מלעיל של .
שלב 3 — שלילת . אילו , אז , ומשמירת הסימן קיים כך ש- על . לכן אף נקודה של אינה שייכת ל-, ומכאן ש- הוא חסם מלעיל של הקטן מ- — בסתירה להיות החסם הקטן ביותר.
שלב 4 — מסקנה. משני השלבים הקודמים נותרה רק האפשרות
ומ- נובע , כלומר .
היא נותנת "בחינם" מידע נוסף: הוא האפס הימני ביותר של בקטע. דרך 1, לעומת זאת, מוצאת אפס כלשהו — התלוי בבחירות שנעשו בכל חציה.