שאלון 490, מועד 81, 14.06.2022. פתרון מלא לכל השאלות — חלק ראשון (1-4, עונים על שלוש בלבד) וחלק שני (5-9, חובה). בכל סעיף שבו קיימות שתי דרכים אמיתיות מוצגות שתיהן; בסעיפים שבהם יש דרך אחת בלבד — כך נאמר במפורש, ומוסבר מדוע הדרך המתחרה הטבעית נכשלת.
אם רציפה בקטע הסגור ואם , אז קיימת בקטע הפתוח נקודה שעבורה מתקיים .
הערה: ניתן להניח .
הדרכה: נאמר שקטע סגור המוכל ב- הוא קטע טוב אם . הוכיחו תחילה שאם הוא קטע טוב, ואם נקודת האמצע של הקטע, אז או ש- או שלפחות אחד מבין שני הקטעים , הוא קטע טוב. בהמשך בנו סדרה של קטעים מתאימים.
⚠️ ההדרכה בשאלון היא חלק מהניקוד
השאלון מכתיב את שיטת החציה: "הוכיחו תחילה שאם הוא קטע טוב... בהמשך בנו סדרה של קטעים מתאימים". לכן דרך 1 היא הדרך שיש להגיש, והיא חייבת לכלול את למת החציה במפורש. דרך 2 (הסופרמום) היא הוכחה נכונה לחלוטין של אותו משפט, ומופיעה כאן כדי להראות מה בדיוק עושה כל אקסיומה — אך היא אינה עונה על ההדרכה, והגשתה לבדה עלולה לעלות בניקוד.
📖 תוכנית פתרון
בשתי הדרכים המנוע הוא שלמות הממשיים; ההבדל הוא באיזו צורה משתמשים בה.
דרך 1 בונה בחציות חוזרות סדרת קטעים סגורים מקוננים שאורכם שואף לאפס, ומפעילה את הלמה של קנטור. הסימנים בקצוות ( משמאל, מימין) נשמרים לאורך כל הבנייה, ומרציפות מקבלים בגבול גם וגם .
דרך 2 אינה בונה דבר: היא לוקחת את הקבוצה , מגדירה לפי אקסיומת השלמות, ומראה בעזרת משפט שימור הסימן שכל אחת מהאפשרויות , סותרת את היות סופרמום.
📜 משפטי מפתח
הלמה של קנטור: לסדרה יורדת של קטעים סגורים שאורכם שואף לאפס יש נקודה משותפת אחת ויחידה, , והיא הגבול של שתי סדרות הקצוות.
אפיון היינה לרציפות: רציפה ב- אם ורק אם לכל סדרה בתחום מתקיים .
שימור אי-שוויון חלש בגבול: אם לכל ו-, אז . (שימו לב: אי-שוויון חד אינו נשמר — אך הגבול .)
משפט שימור הסימן: אם רציפה ב- ו-, אז קיימת סביבה של שבה (ובאופן דומה עבור ).
דרך 1 — חציית קטעים הלמה של קנטור (הדרך שההדרכה דורשת)
שלב 1 — צמצום למקרה . ההנחה אומרת ששני הערכים שונים מאפס ובעלי סימנים מנוגדים. לפי ההערה שבשאלה מותר להניח ; במקרה ההפוך מחליפים את ב-, שהיא רציפה ובעלת אותן נקודות אפס בדיוק.
שלב 2 — הקטע ההתחלתי טוב. לפי ההגדרה שבהדרכה, קטע סגור הוא טוב אם . משלב 1 נובע ש- עצמו קטע טוב.
שלב 3 — למת החציה (זה מה שההדרכה מבקשת להוכיח תחילה). יהי קטע טוב ותהי נקודת האמצע. נבחן את סימן — שלוש אפשרויות ממצות וזרות:
— מצאנו אפס של .
— אז , ולכן קטע טוב.
— אז , ולכן קטע טוב.
בכל מקרה: או ש-, או שאחד משני חצאי הקטע הוא קטע טוב שאורכו .
שלב 4 — בניית סדרת הקטעים. נגדיר (קטע טוב לפי שלב 2), ובהינתן קטע טוב נפעיל עליו את שלב 3. אם באיזשהו שלב מתקבל , אז ולכן
וההוכחה הסתיימה. אחרת נגדיר את להיות החצי הטוב, ומתקבלת סדרה אינסופית של קטעים טובים.
שלב 5 — תכונות הסדרה. לפי הבנייה , כל סגור, והאורך נחצה בכל צעד:
שלב 6 — הפעלת הלמה של קנטור. סדרת קטעים סגורים מקוננים שאורכם שואף לאפס מקיימת
בפרט , ולכן מוגדרת ורציפה ב-.
שלב 7 — חישוב משני הכיוונים. לפי אפיון היינה,
לכל מתקיים , ומעבר לגבול באי-שוויון (המתרכך לחלש) נותן . לכל מתקיים , ובאותו אופן .
שלב 8 — קבלת האפס. משני האי-שוויונות יחד
שלב 9 — הנקודה שייכת לקטע הפתוח. נתון ו-, ואילו ; לכן וגם . מכיוון ש-, נובע — וזו הנקודה המבוקשת.
דרך 2 — סופרמום שימור סימן (ללא בנייה כלל)
דרך זו אינה בונה סדרות ואינה משתמשת בלמה של קנטור: היא מפעילה את אקסיומת השלמות פעם אחת, ישירות.
שלב 1 — הקבוצה. נניח כמו קודם , ונגדיר
שלב 2 — אינה ריקה וחסומה מלעיל. שכן ; וכל איברי מקיימים . לכן לפי אקסיומת השלמות קיים , ומתקיים .
שלב 3 — שלילת האפשרות . נניח בשלילה . אז (כי ), ולכן . לפי משפט שימור הסימן קיים כך ש- בכל . נבחר
בסתירה לכך ש- חסם מלעיל של .
שלב 4 — שלילת האפשרות . נניח בשלילה . אז (כי ), ולכן . לפי שימור הסימן קיים (ואפשר להניח ) כך ש- בכל . מכאן שאף נקודה של אינה נמצאת ב-; ומכיוון שכל נקודות אינן עולות על , מתקיים לכל . כלומר הוא חסם מלעיל של הקטן מ- — בסתירה לכך ש- הוא החסם מלעיל הקטן ביותר.
שלב 5 — מסקנה. שתי האפשרויות נשללו, ולכן . שוב, מ- נובע , ולכן .
💡 מה בדיוק שונה בין הדרכים
דרך 1 משתמשת בשלמות דרך הלמה של קנטור ומייצרת את הנקודה כגבול של סדרה — לכן היא נותנת בחינם אלגוריתם למציאת האפס (שיטת החציה: אחרי צעדים ידוע האפס עד כדי ). דרך 2 משתמשת בשלמות דרך אקסיומת הסופרמום ואינה נותנת אלגוריתם, אך היא מזהה את האפס הימני ביותר בקטע: הוא האפס הגדול ביותר שמשמאלו עדיין חיובית.
תשובה
!
מה הבודק מחפש — ואיפה ההוכחה נשברת
⚠️ שלוש נקודות שבהן נופל ניקוד
1. מעבר לגבול באי-שוויון חד. מ- נובע — ולא . מי שכתב קיבל "הוכחה" ש- וגם , כלומר סתירה במקום מסקנה.
2. דילוג על למת החציה. ההדרכה מבקשת אותה במפורש ("הוכיחו תחילה"); מי שקפץ ישר לסדרת הקטעים ויתר על חלק מהניקוד.
3. אי-הוכחה ש- ולא רק ב-. זה שלב קצר אך הוא חלק מהטענה, והוא נשען על כך ש-.
💡 היכן בדיוק נחוצה כל הנחה
רציפות בקטע כולו: על (מוגדרת פרט ל-) מחליפה סימן ואינה מתאפסת — הרציפות היא שמאפשרת את שלב 7.
סגירות הקטע: בבנייה של דרך 1 חייבים ש- יהיה בתחום של ; הלמה של קנטור מבטיחה זאת רק לקטעים סגורים.
ולא : אילו הותר , האפס היה נמצא בקצה ולא בקטע הפתוח.
עוד 8 שאלות במבחן הזה
השאלה שלמעלה פתוחה במלואה, בחינם. כל שאר השאלות פתורות באותה צורה — שלב אחר שלב, בשתי דרכי פתרון בכל מקום שאפשר, עם פירוט הטעויות שהבודקים רואים הכי הרבה.