שאלה 1 (25 נקודות). הוכיחו את משפט בולצנו-ויירשטראס (משפט 3.32): לכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת.
מבנה הבחינה (מתוך השאלון)
חלק ראשון: שאלות 1-4, יש לענות על שלוש שאלות בלבד מביניהן. בחלק מהשאלות ישנם סעיפים, אין בהכרח קשר בין הסעיפים. חלק שני: שאלות 5-9, שאלות חובה — עונים על כל חמש השאלות, סימון התשובה הנכונה בלבד, ללא נימוק. משך הבחינה 3 שעות. חומר עזר: חוברת ההגדרות והמשפטים בלבד; אסור להשתמש במחשבון.
📖 תוכנית פתרון
צריך לבנות תת-סדרה מתכנסת — כלומר לייצר סדרת אינדקסים ולהוכיח שהערכים מתכנסים. שתי הדרכים המקובלות: (1) חציית קטעים — לוכדים את הגבול בין קטעים מקוננים שאורכם שואף ל-; (2) למת הפסגות — מוצאים קודם תת-סדרה *מונוטונית*, ואז מפעילים את משפט הסדרה המונוטונית החסומה.
דרך 1 — חציית קטעים (הקטעים המקוננים)
📜 משפט מפתח — הקטעים המקוננים (קנטור)
אם קטעים סגורים שאינם ריקים ואורכיהם , אז החיתוך הוא נקודה יחידה.
שלב 0 — נתון החסימות. חסומה, כלומר קיימים כך ש- לכל . נסמן , ואורכו .
שלב 1 — בניית הקטעים באינדוקציה. נבנה קטעים סגורים כך שכל מכיל את עבור אינסוף אינדקסים , ו-.
בסיס: מכיל את כל איברי הסדרה, ובפרט אינסוף מהם.
צעד: נניח ש- נבנה ומכיל אינסוף איברים. נחצה: ו-. איחוד שתי המחציות הוא , ולכן לפחות אחת מהן מכילה עבור אינסוף אינדקסים (אילו שתיהן הכילו רק מספר סופי, גם היה מכיל מספר סופי — סתירה). נבחר מחצית כזו ונקרא לה . ברור ש-.
שלב 2 — בחירת האינדקסים. נבחר כלשהו עם . בהינתן , מכיוון ש- מכיל עבור אינסוף אינדקסים, קיים עם . כך — זו אכן תת-סדרה חוקית.
שלב 3 — הגבול. לפי משפט הקטעים המקוננים, עבור יחיד. עבור כל גם וגם , ולכן:
לפי משפט הסנדוויץ' . ✓
דרך 2 — למת הפסגות + משפט הסדרה המונוטונית
📜 משפט מפתח — סדרה מונוטונית וחסומה מתכנסת
סדרה עולה וחסומה מלמעלה מתכנסת (אל הסופרמום שלה), וסדרה יורדת וחסומה מלמטה מתכנסת (אל האינפימום שלה).
הרעיון: מוכיחים טענה חזקה יותר וחסרת-חסימות: *לכל סדרה ממשית יש תת-סדרה מונוטונית.* בשילוב עם החסימות הנתונה — סיימנו.
שלב 1 — הגדרת פסגה. נאמר שאינדקס הוא פסגה של אם לכל (כלומר אף איבר שאחריו אינו עולה עליו).
שלב 2 — מקרה א': יש אינסוף פסגות. נסמן אותן . מהגדרת פסגה, ומכיוון ש-:
קיבלנו תת-סדרה יורדת (במובן החלש).
שלב 3 — מקרה ב': יש רק מספר סופי של פסגות. יהי אינדקס הגדול מכל הפסגות. נבחר . מכיוון ש-אינו פסגה, קיים עם . גם ולכן אינו פסגה, וכן הלאה. באינדוקציה קיבלנו:
תת-סדרה עולה ממש.
שלב 4 — סגירה. בשני המקרים קיבלנו תת-סדרה מונוטונית . היא תת-סדרה של סדרה חסומה, ולכן חסומה בעצמה. לפי משפט הסדרה המונוטונית החסומה — היא מתכנסת. ✓
תשובה
לכל סדרה חסומה קיימת תת-סדרה מתכנסת .
עוד 8 שאלות במבחן הזה
השאלה שלמעלה פתוחה במלואה, בחינם. כל שאר השאלות פתורות באותה צורה — שלב אחר שלב, בשתי דרכי פתרון בכל מקום שאפשר, עם פירוט הטעויות שהבודקים רואים הכי הרבה.