שאלון 486, מועד 88, 17.02.2022. פתרון מלא לכל השאלות — חלק ראשון (1-4, עונים על שלוש בלבד) וחלק שני (5-9, חובה). בכל סעיף שבו קיימות שתי דרכים אמיתיות מוצגות שתיהן; בסעיפים שבהם יש דרך אחת בלבד — כך נאמר במפורש, ומוסבר מדוע היריבה המתבקשת נכשלת.
בשני המסלולים המטרה זהה: לייצר אינדקסים שעבורם מתכנסת. ההבדל הוא מהיכן מגיע הגבול.
דרך 1 אינה מייצרת גבול כלל בשלב הבנייה: היא בונה תת-סדרה מונוטונית (לכל סדרה, גם לא חסומה!), ורק בסוף מפעילה את החסימות דרך משפט הסדרה המונוטונית.
דרך 2 אינה נוגעת במונוטוניות: היא חוצה קטע חסום שוב ושוב, ומייצרת את הגבול כנקודה המשותפת של קטעים מקוננים (הלמה של קנטור).
📜 משפטי מפתח
משפט הסדרה המונוטונית: סדרה מונוטונית וחסומה מתכנסת — עולה וחסומה מלעיל מתכנסת ל- שלה, יורדת וחסומה מלרע מתכנסת ל- שלה.
הלמה של קנטור (קטעים מקוננים): לסדרה יורדת של קטעים סגורים שאורכם שואף ל- יש נקודה משותפת אחת ויחידה.
כלל הסנדוויץ': אם ו-, אז .
דרך 1 — למת נקודות השיא משפט הסדרה המונוטונית
שלב 1 — ניסוח מדויק. נתונה חסומה, כלומר קיים עם לכל . יש להראות שקיימים אינדקסים כך ש- מתכנסת.
שלב 2 — הלמה שנוכיח תחילה. *לכל* סדרה ממשית (חסומה או לא) יש תת-סדרה מונוטונית.
שלב 3 — הגדרת "נקודת שיא". נאמר שהאינדקס הוא נקודת שיא של אם
כלומר האיבר ה- גדול או שווה לכל האיברים שאחריו.
שלב 4 — פיצול לשני מקרים. נסמן ב- את קבוצת נקודות השיא. יש בדיוק שתי אפשרויות: אינסופית או סופית.
שלב 5 — מקרה א, אינסופית. נסדר את איברי בסדר עולה . לכל מתקיים ו-, ולכן לפי הגדרת נקודת שיא — קיבלנו תת-סדרה יורדת (חלש).
שלב 6 — מקרה ב, סופית. קיים כך שאף אינו נקודת שיא. ניקח . מכיוון ש- אינו נקודת שיא, שלילת ההגדרה אומרת שקיים עם . גם ולכן אינו נקודת שיא, ולכן קיים עם , וכן הלאה באינדוקציה — קיבלנו תת-סדרה עולה ממש.
שלב 7 — סיכום הלמה. בשני המקרים קיבלנו תת-סדרה מונוטונית .
שלב 8 — כניסת החסימות. תת-סדרה של סדרה חסומה היא חסומה: האיברים הם חלק מאיברי , ולכן לכל .
שלב 9 — משפט הסדרה המונוטונית. מונוטונית וחסומה, ולכן מתכנסת.
מסקנה. לכל סדרה חסומה יש תת-סדרה מתכנסת.
דרך 2 — חצייה חוזרת הלמה של קנטור (ללא מונוטוניות)
דרך זו אינה מזכירה מונוטוניות כלל, ובמקום להוכיח קודם למה על כל סדרה, היא משתמשת בחסימות מהצעד הראשון.
שלב 1 — קטע פותח. מהחסימות כל איברי הסדרה מוכלים ב-; בפרט מכיל עבור אינסוף אינדקסים .
שלב 2 — צעד החצייה. נניח שבנינו קטע סגור המכיל עבור אינסוף אינדקסים. נחצה אותו לשני חצאים סגורים באורך . אילו בכל אחד מהחצאים היו רק סופית אינדקסים, היו ב- רק סופית אינדקסים — סתירה. לכן לפחות חצי אחד מכיל אינסוף אינדקסים; נבחר אותו ונקרא לו .
שלב 3 — תכונות הבנייה.
וכל מכיל אינסוף אינדקסים של הסדרה.
שלב 4 — בחירת תת-הסדרה. נבחר כלשהו עם ; מכיוון ש- מכיל אינסוף אינדקסים, קיים עם ; וכן הלאה. האינדקסים עולים ממש, ולכן זו תת-סדרה חוקית. כאן, ורק כאן, נחוץ ש- יכיל אינסוף אינדקסים — אחרת לא היינו יכולים לדרוש .
שלב 5 — הלמה של קנטור. לקטעים הסגורים המקוננים שאורכם שואף ל- יש נקודה משותפת יחידה .
שלב 6 — התכנסות. וגם , ולכן
ולפי כלל הסנדוויץ' .
💡 מה באמת שונה בין הדרכים
דרך 1 מוכיחה טענה חזקה יותר בדרך אגב (לכל סדרה יש תת-סדרה מונוטונית) ומשתמשת בחסימות רק בשורה האחרונה; דרך 2 משתמשת בחסימות כבר בשורה הראשונה, ובתמורה נותנת מיקום של הגבול — ידוע בדיוק , כלומר קצב התכנסות מפורש. לכן דרך 2 היא זו שמתרגמת לאלגוריתם חיפוש בפועל, ודרך 1 היא זו שמתכללת בקלות לסדרות לא חסומות.
תשובה
לכל סדרה חסומה קיימת תת-סדרה מתכנסת
!
מה הבודק מחפש — ואיפה ההנחות הכרחיות
⚠️ הנקודה שבה נופלים
בדרך 1, מקרה הסופית: צריך לומר במפורש מדוע קיים עם — זו שלילת הגדרת נקודת השיא, ולא "ברור". מי שכתב "ניקח את האיבר הגדול הבא" בלי לנמק מדוע קיים כזה אחרי הפסיד ניקוד.
בדרך 2, שני דברים חייבים להיאמר: שהקטעים סגורים (אחרת הלמה של קנטור אינה חלה), ושכל קטע מכיל אינסוף אינדקסים ולא סתם "איבר אחד לפחות" (אחרת אי אפשר לדרוש ).
🔎 החסימות הכרחית — ואינה אפיון
החסימות נחוצה: אינה חסומה, וכל תת-סדרה שלה שואפת ל- ולכן מתבדרת.
ההיפך אינו נכון כאפיון של התכנסות: חסומה, ויש לה תת-סדרות מתכנסות (הזוגיים ל-, האי-זוגיים ל-), אך היא עצמה מתבדרת.
עוד 8 שאלות במבחן הזה
השאלה שלמעלה פתוחה במלואה, בחינם. כל שאר השאלות פתורות באותה צורה — שלב אחר שלב, בשתי דרכי פתרון בכל מקום שאפשר, עם פירוט הטעויות שהבודקים רואים הכי הרבה.