המשפט הוא טענת קיום של אחיד: לכל יש למצוא אחד שמשרת את כל הזוגות בקטע. הרציפות נותנת לכל נקודה את הפרטי שלה, וכל השאלה היא איך לעבור מאוסף אינסופי של -ים ל- יחיד — ובמעבר הזה בדיוק נכנסות הסגירות והחסימות של .
דרך 1 שוללת את ההגדרה, מקבלת שתי סדרות שמתקרבות זו לזו אך ערכי עליהן רחוקים, ומפעילה את משפט בולצאנו-ויירשטראס.
דרך 2 אינה מזכירה סדרות כלל: היא "זוחלת" מ- ימינה ומראה, בעזרת אקסיומת החסם העליון, שהקבוצה שעליה כבר הושג אחיד מגיעה עד ועד בכלל.
דרך 1 — שלילת ההגדרה משפט בולצאנו-ויירשטראס
שלב 1 — הנתון והדרוש. נתון ש- רציפה בכל נקודה של (בקצוות — רציפות חד-צדדית). יש להוכיח שלכל קיים המשרת את כל הזוגות בקטע. נניח בשלילה ש- אינה רציפה במידה שווה ב-.
שלב 2 — מה נותנת השלילה. לפי שלילת ההגדרה קיים כך שלכל קיימות נקודות עם ובכל זאת . נפעיל את זה עבור , לכל בתורו, ונקבל שתי סדרות בקטע המקיימות
שלב 3 — חסימות ובולצאנו-ויירשטראס. לכל מתקיים , ולכן סדרה חסומה. לפי משפט בולצאנו-ויירשטראס קיימת תת-סדרה מתכנסת .
שלב 4 — הגבול נשאר בקטע, וכאן נחוצה הסגירות. מ- לכל ומשמירת אי-שוויון חלש במעבר לגבול נובע , כלומר — ולכן רציפה ב-. זה השלב היחיד שבו הסגירות עובדת: בקטע פתוח הגבול עלול ליפול מחוץ לקטע, ואז אין לנו רציפות בנקודה הזו כלל.
שלב 5 — שתי הסדרות מתכנסות לאותה נקודה. לפי אי-שוויון המשולש
ולכן גם (כלל הסנדוויץ' על ).
שלב 6 — הפעלת הרציפות. לפי אפיון הרציפות בעזרת סדרות, מרציפות בנקודה נובע וגם . לכן, לפי אריתמטיקה של גבולות ורציפות הערך המוחלט,
שלב 7 — הסתירה. מצד שני, לפי שלב 2 מתקיים לכל , ולכן גם הגבול מקיים — בסתירה לכך שהוא . לכן הנחת השלילה שגויה, ו- רציפה במידה שווה ב-.
דרך 2 — זחילה מ- ימינה אקסיומת החסם העליון
שלב 1 — הקבוצה שעליה זוחלים. נקבע (הוא יישאר קבוע עד סוף ההוכחה) ונגדיר
כלומר היא קבוצת נקודות הקצה שעד אליהן כבר השגנו אחיד עבור ה- הזה. הדרוש הוא בדיוק .
שלב 2 — אינה ריקה וחסומה מלעיל. : הקטע , וכל עובד שם באופן ריק כי . כמו כן ולכן הוא חסם מלעיל. לפי אקסיומת החסם העליון קיים , ומתקיים .
שלב 3 — היא "קטע התחלתי". אם עם עד המתאים, ואם , אז אותו עובד גם עבור , ולכן . זו הסיבה שמספיק לטפל בנקודת ה-.
שלב 4 — . מרציפות בנקודה קיים כך שלכל עם מתקיים . מהגדרת החסם העליון קיים עם ; יהי ה- המתאים ל-. נגדיר
ויהיו עם . אם — סיימנו, כי . אחרת אחד מהם גדול מ-, ונניח בלי הגבלת הכלליות . אז , ולכן ; וכן ומאידך , כלומר . לכן, לפי אי-שוויון המשולש,
כלומר ה- שבנינו משרת את כל , ולכן .
שלב 5 — . נניח בשלילה , וניקח את אותו משלב 4. נסמן , ולכן . יהי ה- המתאים ל- (שלב 4), ונגדיר . יהיו עם . אם שניהם — סיימנו לפי . אחרת אחד מהם גדול מ-, ונניח ; אז ולכן , וכן ו-, כלומר . שוב מאי-שוויון המשולש , ולכן — בסתירה לכך ש-. מכאן , ולפי שלב 4 .
שלב 6 — סיום. עבור ה- שקבענו מצאנו שמשרת את כל הזוגות ב-. מכיוון ש- היה שרירותי, זו בדיוק ההגדרה של רציפות במידה שווה ב-.
דרך 1 היא הוכחה בשלילה שמסתמכת על משפט בולצאנו-ויירשטראס — כלומר על קומפקטיות בגרסת הסדרות; החסימות של נכנסת בשלב 3 והסגירות בשלב 4. דרך 2 בונה את ה- ישירות ובאופן חיובי, בלי שלילה ובלי סדרות: היא משתמשת רק באקסיומת החסם העליון, והסגירות נכנסת דווקא בסוף — בשלב שבו מראים ש- עצמו שייך לקבוצה. זה הבדל אמיתי במנגנון: דרך 1 הייתה נכשלת ללא בולצאנו-ויירשטראס, ודרך 2 היא הגרסה ה"קונסטרוקטיבית" שאפשר להריץ גם כשאין בידינו את המשפט הזה.