המשפט הוא טענת קיום, ולכן ההוכחה חייבת לבנות תת-סדרה — כלומר לייצר סדרת אינדקסים עולה ממש ולהראות שהערכים המתאימים מתכנסים. שתי הדרכים נבדלות בשאלה מה נבנה קודם.
דרך 1 בונה תחילה תת-סדרה מונוטונית (למת נקודות השיא) — בנייה שאינה משתמשת בחסימות כלל — ורק בסוף מפעילה את החסימות דרך משפט ההתכנסות המונוטונית.
דרך 2 אינה מזכירה מונוטוניות: היא כולאת אינסוף אינדקסים בקטעים ההולכים ומתכווצים (חצייה חוזרת), מקבלת את הנקודה ממשפט הקטעים המקוננים, ובוחרת את האינדקסים בשלב האחרון.
אקסיומת השלמות: לכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלעיל של ממשיים קיים חסם עליון ב- (ובגרסה הסימטרית — חסם תחתון לקבוצה חסומה מלרע).
משפט ההתכנסות המונוטונית: סדרה מונוטונית וחסומה מתכנסת; עולה — אל קבוצת איבריה, יורדת — אל שלה.
משפט הקטעים המקוננים: אם קטעים סגורים שאורכיהם שואפים לאפס, קיימת נקודה יחידה בחיתוך.
שני המשפטים האחרונים נובעים מאקסיומת השלמות — וזו הסיבה שהמשפט אינו נכון מעל .
דרך 1 — למת התת-סדרה המונוטונית משפט ההתכנסות המונוטונית
שלב 1 — ניסוח מדויק של הנתון והדרוש. תהי סדרה חסומה, כלומר קיים כך ש- לכל . יש להוכיח שקיימת סדרת אינדקסים עולה ממש ומספר ממשי כך ש-.
שלב 2 — הגדרת נקודת שיא. נאמר שאינדקס הוא *נקודת שיא* של הסדרה אם
כלומר: אף איבר שבא אחרי המקום אינו גדול מ-. נחלק לשני מקרים ממצים וזרים לפי מספר נקודות השיא.
שלב 3 — מקרה א: יש אינסוף נקודות שיא. נסמן אותן . לכל מתקיים , ומכיוון ש- נקודת שיא נובע . לכן
כלומר היא תת-סדרה מונוטונית יורדת (במובן הרחב).
שלב 4 — מקרה ב: יש מספר סופי של נקודות שיא. יהי גדול מכל נקודות השיא (אם אין נקודות שיא כלל, ניקח ). נגדיר . מאחר ש-, האינדקס אינו נקודת שיא, ולכן קיים עם . גם אינו נקודת שיא, ולכן קיים עם . באינדוקציה מתקבלת סדרת אינדקסים עולה ממש
כלומר תת-סדרה מונוטונית עולה ממש.
שלב 5 — מסקנת הלמה. בשני המקרים קיבלנו תת-סדרה מונוטונית, ולכן: *לכל סדרה ממשית יש תת-סדרה מונוטונית*. שימו לב שעד כאן לא השתמשנו כלל בחסימות.
שלב 6 — חסימות עוברת בירושה. תהי התת-סדרה המונוטונית שקיבלנו. מכיוון ש- ו- לכל , גם לכל — התת-סדרה חסומה.
שלב 7 — משפט ההתכנסות המונוטונית (עם הוכחה). נניח ש- מונוטונית עולה וחסומה מלעיל. הקבוצה אינה ריקה וחסומה מלעיל, ולכן לפי אקסיומת השלמות קיים . יהי . מכיוון ש- אינו חסם מלעיל של , קיים עם . לכל המונוטוניות נותנת
לכן . במקרה המונוטוני היורד ההוכחה זהה עם (הקיים לפי אקסיומת השלמות בגרסת החסם התחתון).
שלב 8 — סיום. הרכבנו: סדרה חסומה (שלב 5) יש לה תת-סדרה מונוטונית (שלב 6) התת-סדרה מונוטונית וחסומה (שלב 7) התת-סדרה מתכנסת לגבול ממשי.
דרך 2 — חציית קטעים משפט הקטעים המקוננים
שלב 1 — קטע פתיחה. מהחסימות, לכל , כאשר ו-. נסמן ; קבוצת האינדקסים אינסופית (היא כל ). כאן — ורק כאן — נכנסת החסימות.
שלב 2 — בנייה באינדוקציה. נניח שבנינו קטע סגור באורך שעבורו הקבוצה אינסופית. נחצה את בנקודת האמצע לשני קטעים ו-. איחוד שתי קבוצות האינדקסים המתאימות הוא קבוצה אינסופית, ולכן לפחות אחת מהן אינסופית; נבחר חצי כזה ונסמנו . אורכו והוא מקיים .
שלב 3 — נקודה משותפת. קיבלנו סדרת קטעים סגורים מקוננים
לפי משפט הקטעים המקוננים (הנובע אף הוא מאקסיומת השלמות) קיימת נקודה יחידה .
שלב 4 — בחירת האינדקסים. נבחר כלשהו עם . בהינתן , מכיוון שהקבוצה אינסופית היא מכילה אינדקס ; נבחר כזה. כך מתקבלת תת-סדרה עם לכל , והאינדקסים עולים ממש לפי הבנייה.
שלב 5 — התכנסות. גם וגם נמצאים ב-, ולכן
ולפי כלל הסנדוויץ' .
דרך 1 מייצרת את התת-סדרה לפני כל שימוש בחסימות (למת נקודות השיא נכונה לכל סדרה ממשית), והחסימות נכנסת רק בשלב האחרון. דרך 2 משתמשת בחסימות בשלב הראשון, כדי לקבל את קטע הפתיחה, ובוחרת את האינדקסים אחרונים. זהו הבדל אמיתי במנגנון ולא ניסוח מחדש: דרך 2 אינה מזכירה סדר ומונוטוניות של הסדרה כלל, ולכן היא זו שמוכללת ישירות לחצייה של תיבה ב-.