שאלון 490, מועד 86, 19.08.2021. פתרון מלא לכל השאלות — חלק ראשון (1-4, עונים על שלוש בלבד) וחלק שני (5-9, חובה). בכל סעיף שבו קיימות שתי דרכים אמיתיות מוצגות שתיהן; בסעיפים שבהם יש דרך אחת בלבד — כך נאמר במפורש, ומוסבר מדוע היריבה המתבקשת נכשלת.
אם רציפה בקטע הסגור ואם , אז קיימת בקטע הפתוח נקודה שעבורה מתקיים .
*הערה:* ניתן להניח .
*הדרכה:* נאמר שקטע סגור המוכל ב- הוא קטע טוב אם . הוכיחו תחילה שאם הוא קטע טוב, ואם נקודת האמצע של הקטע, אז או ש- או שלפחות אחד מבין שני הקטעים , הוא קטע טוב. בהמשך בנו סדרה של קטעים מתאימים.
📖 תוכנית פתרון
לכל הוכחה של משפט האפס יש אותו שלד: מייצרים נקודה מועמדת , מראים שהיא מתאפסת, ומראים שהיא בקטע הפתוח. ההבדל האמיתי בין הדרכים הוא באופן שבו מייצרים את .
דרך 1 (זו שההדרכה מכתיבה) מייצרת את כגבול של סדרת קטעים מקוננים המתקבלים בחצייה חוזרת.
דרך 2 מייצרת את בבת אחת כ- של הקבוצה , ואינה בונה שום סדרה.
ההנחה מותרת לפי ההערה שבשאלון, אך יש לנמק בשורה אחת מדוע היא באמת בלי הגבלת הכלליות.
📜 משפטי מפתח
משפט ההתכנסות המונוטונית: סדרה מונוטונית וחסומה מתכנסת (עולה — ל- שלה).
הלמה של קנטור: קטעים סגורים מקוננים שאורכם שואף לאפס נחתכים בנקודה יחידה.
אפיון היינה לרציפות: רציפה ב- אם ורק אם לכל סדרה בתחום מתקיים .
שימור אי-שוויון חלש בגבול: אם לכל ו-, אז (ולא בהכרח ).
אקסיומת השלמות: לכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלעיל של ממשיים יש סופרימום.
דרך 1 — חצייה חוזרת של קטעים (השיטה שבהדרכה)
שלב 0 — צמצום בלי הגבלת הכלליות. ההנחה אומרת ששני הערכים שונים מאפס ובעלי סימנים מנוגדים. אם נחליף את ב-: רציפה ב-, מקיימת , ולכל מתקיים . לכן מותר להניח מכאן ואילך , כפי שהותר בהערה.
שלב 1 — ההגדרה. נאמר שקטע סגור (עם ) הוא טוב אם . לפי שלב 0, הקטע עצמו הוא קטע טוב.
שלב 2 — למת החצייה (החלק הראשון של ההדרכה). יהי קטע טוב ותהי נקודת האמצע שלו. הערך מקיים בדיוק אחת משלוש האפשרויות:
אם — מצאנו נקודת אפס.
אם — אז , כלומר הוא קטע טוב.
אם — אז , כלומר הוא קטע טוב.
בכל מקרה: או ש-, או שלפחות אחד מבין , הוא קטע טוב. זו בדיוק הלמה שנדרשנו להוכיח.
שלב 3 — בניית סדרת הקטעים באינדוקציה. נגדיר , שהוא טוב לפי שלב 1. בהינתן קטע טוב , תהי . אם — התהליך נעצר וסיימנו (ראו שלב 7 לגבי מיקום הנקודה). אחרת, לפי שלב 2 לפחות אחד מבין , הוא קטע טוב, ונבחר את להיות קטע טוב כזה. מכאן ואילך נניח שהתהליך אינו נעצר, כלומר הבנייה מייצרת סדרה אינסופית של קטעים טובים.
שלב 4 — תכונות הסדרה שנבנתה. לפי הבנייה, לכל מתקיים ; לכן מונוטונית עולה (במובן החלש), מונוטונית יורדת, ו- לכל . בכל צעד אורך הקטע נחצה, ולכן באינדוקציה
שלב 5 — קיום הגבול המשותף. עולה וחסומה מלעיל ע"י , ולכן לפי משפט ההתכנסות המונוטונית היא מתכנסת: . ממעבר לגבול באי-שוויון החלש נקבל . מכיוון ש- ולפי שלב 4 , נובע מאריתמטיקה של גבולות שגם . (זהו בדיוק תוכן הלמה של קנטור על קטעים מקוננים.)
שלב 6 — מעבר לגבול בסימנים. רציפה בקטע ובפרט בנקודה , ו- הן סדרות השואפות ל-; לכן לפי אפיון היינה וגם . כל אחד מהקטעים טוב, ולכן לכל — במעבר לגבול באי-שוויון חלש ; וכן לכל — ולכן . משתי המסקנות יחד:
שלב 7 — הנקודה נמצאת בקטע הפתוח. קיבלנו עם . מכיוון ש- ו-, בפרט ו-, ולכן ו-. מכאן , כנדרש. (במקרה שבו התהליך נעצר בשלב 3 בנקודה : היא נקודת אמצע של קטע ולכן , ושוב מבטיח .)
דרך 2 — טיעון עליון (אקסיומת השלמות), בלי בניית סדרת קטעים
דרך זו אינה בונה שום סדרה ואינה משתמשת בחצייה: היא מייצרת את הנקודה ישירות מאקסיומת השלמות.
שלב 1 — הגדרת הקבוצה. נניח כמו קודם , ונגדיר
הקבוצה אינה ריקה (, שכן ) וחסומה מלעיל ע"י .
שלב 2 — קיום העליון. לפי אקסיומת השלמות קיים , ומתקיים .
שלב 3 — . מאפיון העליון, לכל קיימת עם , ולכן . מרציפות (היינה) , ומ- לכל נובע במעבר לגבול .
שלב 4 — ממש. מ- ומשמירת הסימן של פונקציה רציפה (עם ) קיים כך ש- לכל . לכן ומכאן
שלב 5 — . לכל מתקיים (שכן חסם מלעיל של ), כלומר . לפי שלב 4 אפשר לבחור סדרה עם (למשל עבור גדול). מרציפות , ומ- נובע .
מסקנה. משלבים 3 ו-5 נקבל ; ומכיוון ש- ו- בהכרח ו-, כלומר .
💡 מה בדיוק שונה בין הדרכים
דרך 1 בונה את בתהליך — סדרה של קטעים — ולכן היא אלגוריתמית ממש (זוהי שיטת החצייה לפתרון מספרי של משוואות, והיא נותנת גם קצב: שגיאה אחרי צעדים). דרך 2 מקבלת את בבת אחת מאקסיומת השלמות ואינה נותנת שום מידע על קצב. מנגד, דרך 2 קצרה יותר ואינה דורשת בנייה אינדוקטיבית עם בחירה בכל שלב.
תשובה
רציפה ב-
!
מה הבודק מחפש — ואיפה המשפט נשבר
⚠️ דברים שהבודק מחפש
1. ההדרכה היא חלק מהניקוד. השאלון מבקש במפורש להוכיח תחילה את למת החצייה (שלב 2) ורק אחר כך לבנות את סדרת הקטעים. מי שקפץ ישר לסדרה ולא ניסח את הלמה מפסיד נקודות גם אם ההוכחה נכונה.
2. מעבר לגבול באי-שוויון חד מרכך אותו לחלש. מ- נובע — לא. מי שכותב וגם ומסיק סתירה, הוכיח בדיוק כלום.
3. נימוק ש- בקטע הפתוח. המשפט טוען , לא . שורה אחת — — סוגרת את זה, ומי שמשמיט אותה לא הוכיח את המשפט שנשאל.
4. הצדקת ה-"בלי הגבלת הכלליות". ההערה בשאלון מתירה להניח , אך שורת המעבר ל- שווה נקודות.
הכרחיות ההנחות
הרציפות חיונית: הפונקציה עבור ו- עבור מקיימת ואינה מתאפסת כלל.
שלמות חיונית: מעל השדה הסדור הפונקציה מחליפה סימן בין ל- ואינה מתאפסת באף נקודה רציונלית. זו הסיבה שבשתי הדרכים מופיע במפורש כלי שלמות — משפט ההתכנסות המונוטונית בדרך 1, אקסיומת הסופרימום בדרך 2.
עוד 8 שאלות במבחן הזה
השאלה שלמעלה פתוחה במלואה, בחינם. כל שאר השאלות פתורות באותה צורה — שלב אחר שלב, בשתי דרכי פתרון בכל מקום שאפשר, עם פירוט הטעויות שהבודקים רואים הכי הרבה.