שאלון 490, מועד 56, 21.06.2021. פתרון מלא לכל השאלות — חלק ראשון (1-4, עונים על שלוש בלבד) וחלק שני (5-9, חובה, אמריקאיות). בכל סעיף שבו קיימות שתי דרכים אמיתיות מוצגות שתיהן; בסעיפים שבהם יש דרך אחת כנה בלבד — כך נאמר במפורש, ומוסבר בדיוק מדוע היריבה המתבקשת נכשלת.
פונקציה רציפה בקטע סגור מקבלת בו מינימום ומקסימום.
מספיק להוכיח רק את קיום המקסימום.
📖 תוכנית פתרון
צריך להוכיח לא ש- חסומה, אלא שה- של קבוצת הערכים מתקבל בנקודה של הקטע. שתי הדרכים נבדלות בדיוק בשאלה מאיפה מגיעה הנקודה .
דרך 1 בונה סדרה ממקסמת מתוך אפיון הסופרמום, ומייצרת את בעזרת בולצאנו־ויירשטרס. היא עצמאית: אינה מניחה מראש שהפונקציה חסומה, ומוכיחה זאת כתוצר לוואי.
דרך 2 מניחה את המשפט הראשון של ויירשטרס (חסימות), הולכת בדרך השלילה ובונה את פונקציית העזר — שאם המקסימום לא מתקבל היא רציפה, ולכן חסומה, וזה מכווץ את כלפי מטה.
📜 משפטי מפתח
אקסיומת השלמות: לכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלעיל של ממשיים יש חסם עליון , והוא החסם מלעיל הקטן ביותר — כלומר לכל הערך אינו חסם מלעיל.
בולצאנו־ויירשטרס: לכל סדרה חסומה של ממשיים יש תת-סדרה מתכנסת.
אפיון היינה לרציפות: רציפה ב- אם ורק אם לכל סדרה בתחום מתקיים .
המשפט הראשון של ויירשטרס: פונקציה רציפה בקטע סגור וחסום — חסומה בו.
דרך 1 — סדרה ממקסמת בולצאנו־ויירשטרס
שלב 1, סימונים. תהי רציפה בקטע הסגור . נסמן ב- את קבוצת הערכים של . שכן . נסמן , כאשר בשלב זה עדיין ייתכן (אם אינה חסומה מלעיל).
שלב 2, בניית סדרה "ממקסמת". לכל נבחר באופן הבא — אם נבחר כך ש-, ואם נבחר כך ש-. הבחירה אפשרית בשני המקרים: במקרה הראשון אינו חסם מלעיל של , ובמקרה השני אינו חסם מלעיל, שכן הוא החסם העליון הקטן ביותר. בשני המקרים
שלב 3, מעבר לתת-סדרה מתכנסת. מוכלת ב- ולכן חסומה: לכל . לפי משפט בולצאנו־ויירשטרס קיימת תת-סדרה מתכנסת
שלב 4, נקודת הגבול בקטע. מ- ומשמירת אי-שוויונות חלשים במעבר לגבול נובע , כלומר , ולכן מוגדרת ורציפה ב-. כאן, ורק כאן, נכנסת סגירות הקטע: בקטע פתוח נקודת הגבול הייתה עלולה ליפול מחוץ לתחום.
שלב 5, שימוש ברציפות (אפיון היינה). מרציפות בנקודה ומ- נובע
— גבול סופי.
שלב 6, יחידות הגבול. היא תת-סדרה של , ולכן שואפת אף היא ל-. מיחידות הגבול . בפרט , כלומר אכן חסומה מלעיל — וגם קיבלנו שהסופרמום מתקבל.
שלב 7, מסקנה., ולכן לכל . הנקודה היא נקודת מקסימום גלובלי של ב-, כלומר המקסימום קיים.
💡 קיום המינימום — בשורה אחת
נפעיל את הטענה שהוכחה על , שאף היא רציפה ב-. אם מקבלת מקסימום ב-, אזי לכל , כלומר — ולכן מקבלת מינימום ב-.
דרך 2 — המשפט הראשון של ויירשטרס דרך השלילה
דרך זו קצרה יותר, אך היא אינה עצמאית: היא נשענת על המשפט הראשון של ויירשטרס (חסימות), ומשתמשת בו פעמיים.
שלב 1, חסימות. לפי המשפט הראשון של ויירשטרס, פונקציה רציפה בקטע סגור היא חסומה בו. לכן אינה ריקה וחסומה מלעיל, ולפי אקסיומת השלמות קיים .
שלב 2, הנחת השלילה. נניח בשלילה שהמקסימום אינו מתקבל, כלומר
שלב 3, פונקציית עזר. נגדיר
לפי הנחת השלילה לכל , ולכן מוגדרת היטב ורציפה ב- (מנה של פונקציות רציפות שמכנהּ אינו מתאפס).
שלב 4, חסימות של . שוב לפי המשפט הראשון של ויירשטרס, חסומה ב-: קיים כך ש- לכל .
שלב 5, הסתירה.
וזאת לכל . כלומר הוא חסם מלעיל של הקטן ממש מ- — בסתירה לכך ש- הוא החסם העליון הקטן ביותר.
מסקנה. הנחת השלילה נפלה, ולכן קיים עם — המקסימום מתקבל.
💡 מה בדיוק שונה בין הדרכים
דרך 1 מייצרת את הנקודה (כגבול תת-סדרה) ומקבלת את החסימות במתנה; דרך 2 מניחה את החסימות ומראה שאי-קבלת המקסימום סותרת אותה, בלי לומר היכן נמצאת. לכן דרך 1 היא ההוכחה שמתאימה כשהמשפט הראשון עדיין לא הוכח בקורס, ודרך 2 מתאימה כשמותר להסתמך עליו.
תשובה
!
מה הבודק מחפש — שאלה 1
⚠️ דברים שהבודק מחפש
1. טיפול במקרה . מי שכותב מיד "נסמן " מבלי להסביר מדוע ה- סופי, השתמש בפועל במשפט הראשון של ויירשטרס בלי לומר זאת. או שמצטטים אותו במפורש (דרך 2), או שמנסחים את הבחירה כך שתעבוד גם ב- (דרך 1, שלב 2).
2. הצדקת הבחירה . זו אינה "בחירה שרירותית": היא נשענת על כך ש- הוא החסם מלעיל הקטן ביותר, ולכן כבר אינו חסם מלעיל.
3. ציון היכן נכנסת סגירות הקטע — בשלב שבו מסיקים . בלי זה ההוכחה "מוכיחה" גם משפט שקרי עבור .
4. יחידות הגבול. המעבר מ- ומ- אל הוא שימוש ביחידות הגבול, וצריך לומר זאת.
עוד 8 שאלות במבחן הזה
השאלה שלמעלה פתוחה במלואה, בחינם. כל שאר השאלות פתורות באותה צורה — שלב אחר שלב, בשתי דרכי פתרון בכל מקום שאפשר, עם פירוט הטעויות שהבודקים רואים הכי הרבה.