שאלון 490, מועד 62, 28.06.2021. פתרון מלא לכל השאלות — חלק ראשון (1-4, עונים על שלוש בלבד) וחלק שני (5-9, חובה, רב-ברירה). בכל סעיף שבו קיימות שתי דרכים אמיתיות מוצגות שתיהן; בסעיפים שבהם קיימת דרך אחת בלבד — כך נאמר במפורש, ומוסבר מדוע הדרך המתחרה המתבקשת נכשלת.
המשפט הראשון של ווירשטרס — רציפה בקטע סגור גוררת חסומה
1
הוכחת משפט 5.35
הוכיחו את המשפט הראשון של ווירשטרס (משפט 5.35):
פונקציה ממשית שהיא רציפה בקטע סגור , חסומה בקטע זה.
📖 תוכנית פתרון
המשפט אומר שקיים עם לכל . שתי ההוכחות המקובלות נבדלות באקסיומה שהן שואבות ממנה את הקומפקטיות של הקטע:
דרך 1 מניחה בשלילה שהפונקציה אינה חסומה, מייצרת סדרת נקודות שבהן מתפוצצת, ומפעילה עליה את משפט בולצאנו־ויירשטרס + אפיון היינה לרציפות.
דרך 2 אינה משתמשת בסדרות כלל: היא מגדירה את קבוצת הנקודות שעד אליהן הפונקציה כבר חסומה, ומפעילה ישירות את אקסיומת השלמות (קיום ) כדי "לזחול" מ- עד .
📜 משפטי מפתח
משפט בולצאנו־ויירשטרס: לכל סדרה חסומה של ממשיים יש תת-סדרה מתכנסת.
אפיון היינה לרציפות: רציפה ב- אם ורק אם לכל סדרה בתחום מתקיים .
משפט 2.19: כל סדרה מתכנסת היא חסומה.
אקסיומת השלמות: לכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלעיל של ממשיים יש חסם עליון.
דרך 1 — שלילה בולצאנו־ויירשטרס היינה
שלב 1 — ניסוח השלילה. נניח בשלילה ש-אינה חסומה ב-. כלומר, לכל קיימת נקודה בקטע שבה . בפרט, בבחירת עבור כל , קיימת כך ש
כך קיבלנו סדרה של נקודות בקטע.
שלב 2 — הסדרה חסומה. לכל מתקיים , ולכן .
שלב 3 — מעבר לתת-סדרה מתכנסת. לפי משפט בולצאנו־ויירשטרס קיימת תת-סדרה ונקודה כך ש-.
שלב 4 — הגבול נשאר בקטע. לכל מתקיים ; מעבר לגבול באי-שוויון חלש (משפט השוואת גבולות) נותן
כאן, ורק כאן, נדרשת סגירות הקטע — בקטע פתוח הגבול היה עלול לברוח אל הקצה.
שלב 5 — שימוש ברציפות. רציפה ב- ובפרט בנקודה . לפי אפיון היינה, מכיוון ש- ו-, מתקיים .
שלב 6 — סדרה מתכנסת היא חסומה. לפי משפט 2.19 קיים כך ש- לכל .
שלב 7 — הסתירה. מצד שני, לפי הבנייה , ומכיוון שהאינדקסים של תת-סדרה עולים ממש מתקיים , ולכן
עבור נקבל — בסתירה לשלב 6.
מסקנה. ההנחה שגויה, ולכן חסומה ב-.
דרך 2 — אקסיומת השלמות (טיעון ה-, ללא סדרות)
שלב 1 — הגדרת הקבוצה. נגדיר
שלב 2 — אינה ריקה וחסומה מלעיל., שכן ב- הפונקציה מקבלת ערך יחיד ; וכן , ולכן הוא חסם מלעיל.
שלב 3 — קיום העליון. לפי אקסיומת השלמות קיים , ומתקיים , כלומר .
שלב 4 — רציפות ב- עם . קיים כך שלכל עם מתקיים , ולכן
שלב 5 — הדבקת שני האומדנים. מהגדרת ה- קיים עם , כלומר חסומה על ע"י כלשהו. נסמן ; אז , ולכן על הפונקציה חסומה ע"י , כלומר .
שלב 6 — הכרח . אילו היה מתקיים ו- — בסתירה לכך ש- חסם מלעיל של . לכן , ואותו אומדן עצמו נותן ש- חסומה על כל .
מסקנה. חסומה ב-.
💡 מה באמת שונה בין הדרכים
דרך 1 שואבת את הקומפקטיות דרך סדרות (בולצאנו־ויירשטרס), ולכן מחייבת את אפיון היינה לרציפות. דרך 2 עובדת ישירות עם הגדרת - של הרציפות ועם אקסיומת השלמות, ואינה מזכירה סדרה אחת. לכן דרך 2 מתאימה יותר כשמוכיחים את המשפט לפני שהוכח בולצאנו־ויירשטרס — שאם לא כן ההוכחה מעגלית.
תשובה
!
מה הבודק מחפש — ולמה כל הנחה הכרחית
⚠️ דברים שהבודק מחפש
1. הנמקה מפורשת ש-. זו הנקודה שבה נעשה השימוש היחיד בסגירות הקטע; מי שכתב " ולכן " בלי להצדיק ש- בתחום — קיבל ניקוד חלקי בלבד.
2. ציטוט מדויק של בולצאנו־ויירשטרס כולל בדיקת ההנחה שלו (חסימות הסדרה).
3. הסתירה עצמה. לא די לומר " שואפת לאינסוף" — צריך את השלב שמעביר את ההתפוצצות מהאינדקסים המקוריים לתת-סדרה.
💡 שתי דוגמאות שמראות שאי אפשר לוותר על אף הנחה
סגירות: רציפה ב- ואינה חסומה שם.
רציפות: ו- עבור — מוגדרת על הקטע הסגור ואינה חסומה בו.
עוד 8 שאלות במבחן הזה
השאלה שלמעלה פתוחה במלואה, בחינם. כל שאר השאלות פתורות באותה צורה — שלב אחר שלב, בשתי דרכי פתרון בכל מקום שאפשר, עם פירוט הטעויות שהבודקים רואים הכי הרבה.