הוכיחו שהפונקציה מקבלת ב כל ערך ממשי לכל היותר פעם אחת.
📖 תוכנית פתרון
"מקבלת כל ערך ממשי לכל היותר פעם אחת" היא בדיוק ההגדרה של חד-חד-ערכיות: אם אז . הדרך הבטוחה להוכיח חח"ע היא להוכיח מונוטוניות ממש, ולכן כל הפתרון מתרכז בשאלה אחת: להראות ש- עולה ממש ב-.
דרך 1 — נגזרת ומונוטוניות ממש
📜 משפט מפתח — מונוטוניות מהנגזרת
אם רציפה ב- וגזירה ב- עם לכל , אז עולה ממש ב-. בפרט, פונקציה עולה ממש היא חד-חד-ערכית.
שלב 1 — גזירות. היא מכפלה של (פולינום, גזיר ב-) ושל (גזירה ב-), ולכן גזירה בכל .
שלב 2 — חישוב הנגזרת לפי כלל המכפלה:
שלב 3 — סימן הנגזרת. נבדוק שלושה מקרים:
תחום
(שני גורמים חיוביים)
(מכפלת שני שליליים)
הנקודה המרכזית: היא פונקציה אי-זוגית ועולה ממש, ולכן ו- הם תמיד בעלי אותו סימן. מכאן תמיד, עם שוויון רק ב-.
שלב 4 — הדבקה סביב . קיבלנו ב- ולכן עולה ממש ב-; וכן ב- ולכן עולה ממש ב-. שני הקטעים חולקים את הנקודה , ולכן:
ובאופן כללי — כלומר עולה ממש בכל .
שלב 5 — מסקנה. פונקציה עולה ממש היא חד-חד-ערכית: אם אז (בלי הגבלת הכלליות ) מתקיים , ובפרט . לכן כל ערך ממשי מתקבל לכל היותר פעם אחת.
⚠️ מה שהבודק יחפש
— הנגזרת כן מתאפסת בנקודה אחת. לכן אסור לכתוב סתם " ולכן עולה ממש". חייבים או לפצל לשני קטעים ולהדביק בנקודה (כמו כאן), או לצטט במפורש את הגרסה של המשפט שמתירה היעלמות של הנגזרת במספר סופי של נקודות. סטודנטים רבים מפסידים כאן נקודות.
דרך 2 — אי-זוגיות ומכפלת פונקציות עולות (ללא נגזרת)
שלב 1 — אי-זוגית. לכל :
ובפרט .
שלב 2 — עולה ממש ב-. נסמן ו-. שתיהן עולות ממש ב-, ושתיהן חיוביות ב-. לכן עבור :
ולפחות אחד משני האי-שוויונות הוא חד (אם אז ; ואם אז שניהם חדים). לכן .
שלב 3 — הרחבה לכל באמצעות האי-זוגיות. יהיו :
אם — טופל בשלב 2.
אם — אז , ולפי שלב 2: , כלומר , כלומר .
אם — אז (כי ) ו-, ולכן .
בכל המקרים , ולכן עולה ממש ב- — ובפרט חד-חד-ערכית.
💡 למה הדרך הזו שווה זהב
היא לא נוגעת בנגזרת בכלל, ולכן היא עוקפת לגמרי את המלכודת של . היא גם עובדת מיידית על כל וריאציה מהסוג או , שבהן חישוב הנגזרת מסורבל.
תשובה
עולה ממש ב-, ולכן חד-חד-ערכית — כל ערך ממשי מתקבל לכל היותר פעם אחת.
ב
(22 נק׳) למשוואה יש אינסוף פתרונות חיוביים
הוכיחו שלמשוואה יש אינסוף פתרונות חיוביים.
הערה: ידוע שלכל שלם, , .
📖 תוכנית פתרון
ההערה בשאלון היא הרמז: על כל ענף של הפונקציה "מטפסת" מ- ל-. לכן מחליפה סימן בכל ענף, ומשפט ערך הביניים נותן שורש בכל אחד מהם. הענפים זרים, ולכן השורשים שונים — ויש אינסוף ענפים בחצי הישר החיובי.
דרך 1 — משפט ערך הביניים על כל ענף של
📜 משפט ערך הביניים (קושי)
אם רציפה ב- ו-, אז קיימת עם .
שלב 1 — בחירת הענפים. לכל נגדיר:
כל מוכל ב- (הקצה השמאלי הוא ), הענפים זרים בזוגות, ו- רציפה בכל אחד מהם (אין בהם כפולה אי-זוגית של ).
שלב 2 — הפונקציה . נגדיר ; היא רציפה ב- כהפרש של רציפות.
שלב 3 — התנהגות בקצוות. לפי ההערה שבשאלון, עם עצמו ועם :
(האיבר חסום על הקטע החסום , ולכן הוא לא משנה את הגבולות האינסופיים.)
שלב 4 — צמצום לקטע סגור. מהגבול הראשון: קיימת עם . מהגבול השני: קיימת עם , ואפשר לבחור קרובה מספיק לקצה הימני כך ש-.
שלב 5 — הפעלת המשפט. רציפה ב- ו-, ולכן קיימת עם:
שלב 6 — אינסוף פתרונות שונים., והקטעים זרים בזוגות — ולכן הם אינסוף פתרונות חיוביים שונים.
⚠️ הטעות שהבודק מחכה לה
אסור להפעיל את משפט ערך הביניים על הקטע הפתוח ולומר " עוברת מ- ל-". המשפט דורש קטע סגור שבו מוגדרת ורציפה גם בקצוות, ו- אינם ערכים. שלב 4 — הצמצום ל- — הוא בדיוק מה שסוגר את הפרצה הזו, והוא שווה נקודות.
דרך 2 — רדוקציה לפונקציה מונוטונית
שלב 1 — כתיבה מחדש של המשוואה. יהי פתרון של . מהמחזוריות לכל שלם, ולכן אם נבחר כך ש-, נקבל , ומהפעלת (שהיא ההופכית של בדיוק על הקטע הזה):
כלומר: פתרונות המשוואה הם בדיוק הנקודות שבהן מקבלת ערך שהוא כפולה שלמה של .
שלב 2 — עולה ממש ושואפת ל-.
לכן עולה ממש ב-, רציפה שם, ו-. בנוסף, מכיוון ש-:
שלב 3 — פתרון יחיד לכל . רציפה ועולה ממש מ- עד . לכן לכל (כלומר ) קיימת, לפי משפט ערך הביניים, נקודה עם ; ומהמונוטוניות הממש היא יחידה.
שלב 4 — בדיקה שאלו אכן פתרונות. מ- נובע . נפעיל על שני האגפים:
שלב 5 — מסקנה. חד-חד-ערכית, ולכן שונים זה מזה, וכולם חיוביים. קיבלנו אינסוף פתרונות חיוביים.
💡 הדרך הזו נותנת יותר מהנדרש
היא מוכיחה שבכל ענף יש בדיוק פתרון חיובי אחד, ומיד גם נותנת את המיקום שלו: , ומכיוון ש- מתקיים , כלומר . הפתרונות מתקרבים מלמטה לאסימפטוטות של .
תשובה
למשוואה יש אינסוף פתרונות חיוביים: בכל ענף , , יש פתרון — ולמעשה בדיוק אחד.
עוד 7 שאלות במבחן הזה
השאלה שלמעלה פתוחה במלואה, בחינם. כל שאר השאלות פתורות באותה צורה — שלב אחר שלב, בשתי דרכי פתרון בכל מקום שאפשר, עם פירוט הטעויות שהבודקים רואים הכי הרבה.