שאלון 85. בבחינה חמש שאלות ועונים על ארבע בלבד; משקל כל שאלה 25 נקודות. פתרון מלא לכל חמש השאלות — בכל סעיף שבו קיימות שתי דרכים אמיתיות מוצגות שתיהן, ובסעיף שבו קיימת דרך אחת בלבד הדבר נאמר במפורש. הכותרת התחתונה בשאלון המקורי היא "2026ב — מועד א2 / 85".
פונקציונל בעל סימנים מנוגדים על ו-; תלות לינארית עם פרמטר
א.1
(13 נק' לסעיף א כולו) הוכחת
יהי מרחב לינארי מעל , ויהיו ו- תתי-מרחבים של . נתון שקיימת העתקה כך שלכל ו- מתקיים ו-. שימו לב, המכפלה היא מכפלה של שני סקלרים ו-. הוכיחו ש-.
📖 תוכנית פתרון
הרעיון: התנאי אוסר על ו- לחלוק וקטור שונה מאפס — וקטור כזה היה נותן . מכאן , ונוסחת הממדים סוגרת את ההוכחה.
📜 משפטי מפתח
נוסחת הממדים (גראסמן): לכל שני תתי-מרחבים ממימד סופי מתקיים .
מונוטוניות הממד: אם תתי-מרחבים אז .
הערה על ממדים סופיים
אם אי-השוויון נכון באופן ריק. ההוכחה נכתבת עבור ממימד סופי, כמקובל בקורס; דרך 2 עובדת מילה במילה גם כאשר ו- ממימד סופי ו- אינו.
דרך 1 — ונוסחת הממדים
שלב 1 — החיתוך טריוויאלי. נניח בשלילה שקיים . אז הוא בפרט וקטור שונה מאפס ב- וגם וקטור שונה מאפס ב-, ולכן מותר להציב ו- בנתון:
אבל הוא מספר ממשי, וריבוע של ממשי אינו שלילי — סתירה. לכן .
שלב 2 — נוסחת הממדים. מ- נקבל
שלב 3 — סיום. הוא תת-מרחב של , ולכן . בשילוב עם שלב 2:
דרך 2 — בנייה ישירה של קבוצה בלתי תלויה ב-
שלב 1 — אותה תצפית מקדימה. כמו בדרך 1, אם אז — בלתי אפשרי. לכן .
שלב 2 — איחוד בסיסים. נסמן ו-, ויהיו בסיס של ו- בסיס של . נראה שהקבוצה בלתי תלויה לינארית.
שלב 3 — בדיקת הצירוף המתאפס. נניח
נסמן ; אז , ולכן , כלומר .
מ- ומהיות בסיס נקבל , ובאותו אופן . לכן הקבוצה בלתי תלויה.
שלב 4 — סיום. קבוצה בלתי תלויה לינארית ב- מכילה לכל היותר איברים, ולכן
תשובה
א.2
האם ההעתקה לינארית?
האם ההעתקה לינארית? נמקו היטב את תשובתכם.
📖 תוכנית פתרון
הרעיון: לכל גם שייך ל- ושונה מאפס, ולכן ו- חייבים להיות מאותו סימן. לינאריות הייתה מחייבת — סימן הפוך. זו הסתירה.
⚠️ נתון סמוי שהשאלה מסתמכת עליו
אם או התנאי ריק (אין וקטורים להציב), ואז מקיימת את כל הנתון והיא כן לינארית. השאלה מתכוונת למצב שבו ו- — אחרת אין תשובה חד-משמעית. נפתור תחת הנחה זו ונציין אותה במפורש.
דרך 1 — סתירה דרך
שלב 1 — הסימנים קבועים. יהיו ו- (קיימים לפי ההנחה). מ- נובע בפרט ש- ו-, וששני הסקלרים בעלי סימנים מנוגדים.
שלב 2 — הצבת . תת-מרחב, ולכן ; גם שכן . לכן מותר להציב במקום :
שלב 3 — הסתירה. מ- ומשני אי-השוויונות ו- נובע ש- ו- הם באותו סימן — שניהם הפוכים לסימן של — ובפרט
אילו הייתה לינארית היה מתקיים , ואז — בסתירה לשלב 3.
מסקנה (דרך 1): אינה לינארית.
דרך 2 — תמונת תת-מרחב תחת העתקה לינארית היא תת-מרחב
שלב 1 — סימן קבוע על . נקבע . לכל מתקיים , ולכן הסימן של נקבע לחלוטין — הוא הפוך לסימן של — ואינו תלוי ב-. נניח בלי הגבלת הכלליות ; אז לכל .
שלב 2 — מה לינאריות הייתה מחייבת. נניח בשלילה ש- לינארית. אז — התמונה של תת-המרחב — היא תת-מרחב של , ותתי-המרחבים היחידים של הם ו-.
שלב 3 — פסילת שתי האפשרויות. לפי שלב 1 קיים עם , ולכן . נשארת האפשרות , כלומר קיים עם ; מכיוון ש- בהכרח — בסתירה לשלב 1 שקבע לכל .
מסקנה (דרך 2): אינה לינארית.
תשובה
אינה לינארית
ב
(12 נק') כל ערכי שעבורם בלתי תלויה לינארית
יהי מרחב לינארי מעל , ויהיו וקטורים בלתי תלויים לינארית. נתון כי הקבוצה פורשת את . נגדיר את הקבוצה . מצאו את כל הערכים של עבורם הקבוצה בלתי תלויה לינארית.
📖 תוכנית פתרון
הרעיון: בלתי תלויה ופורשת את , ולכן בסיס ו-. נרשום את בקואורדינטות לפי ; שלושה וקטורים ב- בלתי תלויים אם ורק אם הדטרמיננטה של מטריצת הקואורדינטות שונה מאפס.
📜 משפט מפתח
קואורדינטות שומרות תלות: אם בסיס של אז ההעתקה היא איזומורפיזם , ולכן קבוצה ב- בלתי תלויה אם ורק אם קבוצת וקטורי הקואורדינטות שלה בלתי תלויה.
דרך 1 — דטרמיננטת מטריצת הקואורדינטות
שלב 1 — קואורדינטות. לפי ההגדרה , , , ולכן
שלב 2 — הדטרמיננטה. נסדר אותם כשורות מטריצה ונפתח לפי השורה הראשונה:
שלב 3 — מסקנה. בלתי תלויה וגם .
בדיקה של שני הערכים החריגים. עבור מקבלים ו- — תלויים. עבור מקבלים , , , ואכן .
דרך 2 — פתרון ישיר של מערכת הצירוף המתאפס
שלב 1 — כתיבת הצירוף. נניח ונפתח לפי :
מכיוון ש- בלתי תלויים, כל מקדם מתאפס:
שלב 2 — המקרה . המשוואה הראשונה מתקיימת תמיד, והשלישית נותנת ; נבחר ואז — פתרון לא טריוויאלי, ולכן תלויה.
שלב 3 — המקרה . מהמשוואה הראשונה ; נציב בשנייה ונקבל , כלומר . נציב בשלישית ונקבל , כלומר .
אם אז , ומכאן ו- — רק הפתרון הטריוויאלי, כלומר בלתי תלויה. אם אפשר לקחת ו- — פתרון לא טריוויאלי, ולכן תלויה.
מסקנה (דרך 2): בלתי תלויה בדיוק כאשר וגם — זהה לדרך 1.
תשובה
כלומר וגם
עוד 4 שאלות במבחן הזה
השאלה שלמעלה פתוחה במלואה, בחינם. כל שאר השאלות פתורות באותה צורה — שלב אחר שלב, בשתי דרכי פתרון בכל מקום שאפשר, עם פירוט הטעויות שהבודקים רואים הכי הרבה.