חמש שאלות, יש לענות על ארבע בלבד; 25 נקודות לשאלה. פתרון מלא לכל הסעיפים. בכל סעיף שבו קיימות שתי דרכים אמיתיות מוצגות שתיהן; בסעיף שבו יש דרך אחת בלבד — כך נאמר במפורש.
העתקה לינארית שהתמונות שלה פורשות, ושוויון תתי-מרחבים ב-
א.1
נק' — הוכחה ש- איזומורפיזם
יהי מרחב לינארי נוצר סופי, ויהיו וקטורים כלשהם. תהי העתקה לינארית, ונתון שהקבוצה פורשת את . הוכיחו שההעתקה איזומורפיזם.
📖 תוכנית פתרון
כל יושב בתמונה, והתמונה היא תת-מרחב — ולכן היא בולעת את כל הפרישה של ה-, שהיא . משם, סופיות הממד היא שהופכת 'על' ל'חח"ע'. דרך 1 עושה זאת ישירות עם משפט המימדים; דרך 2 בשלילה, דרך הגרעין.
⚠️ בלי סופיות הטענה שקרית
ב- ההעתקה אינה על, ובמרחב אינסופי-ממדי 'על' אינו גורר 'חח"ע'. ההנחה היא לב ההוכחה, ויש לומר זאת במפורש.
דרך 1 — התמונה בולעת את הפרישה משפט המימדים
שלב 1 — התמונה מכילה את הקבוצה הפורשת. לכל מתקיים . התמונה היא תת-מרחב, ולכן סגורה לצירופים לינאריים:
שלב 2 — על. לפי הנתון אגף שמאל שווה , ולכן שתי ההכלות הן שוויונות:
שלב 3 — מ'על' ל'חח"ע' דרך משפט המימדים. כאן משתמשים לראשונה בכך ש- נוצר סופית:
מכיוון ש- ומדובר במספר סופי, אפשר לצמצם ולקבל , כלומר ו- חד-חד ערכית.
מסקנה. לינארית, חח"ע ועל מ- לעצמו — כלומר איזומורפיזם.
דרך 2 — שלילה דרך הגרעין
שלב 1 — הנחת השלילה. נניח ש-אינה חד-חד ערכית, כלומר ולכן .
שלב 2 — מה זה עושה לדרגה. לפי משפט המימדים:
שלב 3 — הסתירה. מצד שני, בדיוק כמו בדרך 1, , ולכן — בסתירה לשלב 2.
שלב 4 — סגירת הטיעון. לכן , ומשפט המימדים נותן ; תת-מרחב של בעל ממד שווה ל-, ולכן גם על.
מסקנה. איזומורפיזם — אותה מסקנה, בסדר הפוך: כאן החח"ע מוכחת ראשונה וממנה נובעת ה'על'.
תשובה
איזומורפיזם
א.2
נק', המשך — הקבוצה פורשת את
באותם נתונים, הוכיחו שהקבוצה פורשת את .
דרך 1 — 'משיכה אחורה' של צירוף לינארי
שלב 1 — נקודת הפתיחה. יהי שרירותי. אז , ולפי הנתון
ולכן קיימים סקלרים עם .
שלב 2 — הוצאת החוצה. מלינאריות :
שלב 3 — צמצום (וכאן משתמשים בסעיף א.1). חד-חד ערכית, ולכן משוויון התמונות נובע שוויון המקורות:
מסקנה. כל הוא צירוף לינארי של , כלומר .
דרך 2 — שיקול ממדים על
שלב 1 — הגדרת המועמד ותמונתו. נסמן . העתקה לינארית מעבירה קבוצה פורשת של לקבוצה פורשת של , ולכן
שלב 2 — אי-שוויון ממדים. לכל תת-מרחב מתקיים (התמונה נפרשת על-ידי וקטורים לכל היותר, ולמעשה על-ידי תמונות של בסיס כלשהו של ). לכן
שלב 3 — לחיצה. שני הקצוות שווים, ולכן .
מסקנה. תת-מרחב של בעל אותו ממד סופי, ולכן — הקבוצה פורשת את . שימו לב שדרך זו אינה משתמשת בחד-חד ערכיות אלא רק בכך ש- העתקה לינארית.
תשובה
ב
נק' — הוכחה ש-
נתונים שני תתי-מרחבים ו- של : , . הוכיחו ש-.
💡 הזיהוי שמקצר הכול
נזהה עם לפי הרביעייה של הרכיבים. הופך לתמונה של העתקה מ- (פרישה של שלושה וקטורים) ו- הופך למרחב הפתרונות של מערכת הומוגנית — שני עצמים שאנחנו יודעים למדוד את ממדם מיד.
דרך 1 — הכלה שוויון ממדים
שלב 1 — יוצרי . נציב בהתאמה:
ומכיוון שכל איבר של הוא , מתקיים .
שלב 2 — כל יוצר מקיים את שתי המשוואות של . בסימון :
יוצר
שלב 3 — ההכלה. תת-מרחב (קבוצת הפתרונות של מערכת הומוגנית) המכיל את שלושת היוצרים, ולכן מכיל את פרישתם: .
שלב 4 — . בזיהוי עם מתקיים ו-, כלומר ולכן . נשארו שני יוצרים בת"ל:
שלב 5 — . מטריצת המקדמים של המערכת המגדירה את היא ; שתי שורותיה בת"ל (הרכיב השני מפריד ביניהן), ולכן הדרגה ו-.
מסקנה. ושני הממדים שווים ל-, ובמרחב נוצר סופית זה כופה .
דרך 2 — בסיס מפורש לכל אחד והשוואה ישירה
שלב 1 — דירוג היוצרים של . שורות היוצרים ב- הן . פעולות שורה: , , ואז :
ולכן בסיס של .
שלב 2 — פתרון המערכת של . מ- נובע , ומ- נובע ; המשתנים החופשיים הם ו-:
אלה בסיס של , ובפרט .
שלב 3 — כל בסיס מוכל בפרישה של השני. בכיוון אחד , ולכן ; בכיוון השני , ולכן .
מסקנה. שני התת-מרחבים שווים, ואפשר לרשום להם בסיס משותף:
תשובה
עוד 4 שאלות במבחן הזה
השאלה שלמעלה פתוחה במלואה, בחינם. כל שאר השאלות פתורות באותה צורה — שלב אחר שלב, בשתי דרכי פתרון בכל מקום שאפשר, עם פירוט הטעויות שהבודקים רואים הכי הרבה.