תהי העתקה לינארית המקיימת לכל את השוויון . הוכיחו שאם חד-חד ערכית אז . הערה: הוא פולינום המכפלה.
📖 תוכנית פתרון
כל השאלה מסתתרת בהצבה אחת: הפולינום הקבוע מקיים , ולכן מקיים . משם צריך לצמצם את האפשרויות ל- ואז לפסול את . דרך 1 מצמצמת בעזרת העובדה ש- הוא תחום שלמות, דרך 2 בעזרת שיקול דרגות. בשתי הדרכים ההנחה ש- חד-חד ערכית היא זו שמחסלת את .
📜 שתי עובדות שנשתמש בהן
לינאריות: לכל העתקה לינארית מתקיים .
תחום שלמות: אם ומתקיים אז או — כי לפולינומים שאינם אפס מתקיים .
שלב 2 — פתרון המשוואה בחוג הפולינומים. נעביר אגף ונוציא גורם משותף:
החוג הוא תחום שלמות, ולכן מכפלה מתאפסת רק אם אחד הגורמים מתאפס. מכאן או .
שלב 3 — פסילת בעזרת החד-חד ערכיות. לינארית ולכן . אילו היה , היה מתקיים
כלומר שני פולינומים שונים בעלי אותה תמונה — בסתירה לכך ש- חד-חד ערכית.
מסקנה. נשארה אפשרות אחת בלבד: .
דרך 2 — שיקול דרגות, ו- מוטט את כולה
שלב 1 — אותה הצבה. כמו קודם, מקיים .
שלב 2 — שיקול דרגות מראה ש- קבוע. נניח תחילה . אז שני האגפים פולינומים שאינם אפס ואפשר להשוות דרגות:
לכן קבוע ממשי, והמשוואה הופכת ל-, כלומר ; ההנחה משאירה .
שלב 3 — האפשרות הופכת את להעתקת האפס. נניח . אז לכל , בהצבה בזהות הנתונה:
כלומר היא העתקת האפס ולכן — רחוקה מאוד מלהיות חד-חד ערכית.
מסקנה. בהינתן ש- חד-חד ערכית, האפשרות נפסלת ונשאר .
💡 מה דרך 2 מוסיפה
שלב 3 מוכיח טענה חזקה יותר מזו שנדרשה: אם מכפלתית ואינה העתקת האפס, אז בהכרח — ואין צורך בחד-חד ערכיות מלאה, מספיק ש-.
תשובה
ב
סימטרית (12 נק')
תהיינה מטריצות המקיימות . נתון ש- ו- מטריצות מתחלפות ו- מטריצה סימטרית. הוכיחו שהמטריצה סימטרית.
📖 תוכנית פתרון
שני הנתונים — ו- — נועדו לאפשר להצמיד את שני ה--ים זה לזה. דרך 1 עושה זאת ישירות ומקבלת , שהיא סימטרית בעליל. דרך 2 עוברת דרך המשפט הכללי: מכפלת שתי מטריצות סימטריות סימטרית אם ורק אם הן מתחלפות — ולשם כך מראים תחילה ש- עצמה סימטרית.
⚠️ מלכודת נפוצה
הנתון הוא — ולא . אסור להשתמש בהתחלפות של עם בלי להוכיח אותה תחילה (זה נעשה בדרך 2, שלב 2). דרך 1 בכלל לא זקוקה לה.
דרך 1 — כיווץ ל- ושחלוף ישיר
שלב 1 — הזזת פנימה בעזרת ההתחלפות. נציב ונשתמש ב-:
שלב 2 — שחלוף המכפלה. לפי כלל השחלוף , עם , , :
שלב 3 — סימטרית. מ- נובע
מסקנה. מחברים את שלושת השלבים:
כלומר סימטרית.
דרך 2 — סימטרית, ו- מתחלפת עם
📜 משפט — מתי מכפלת סימטריות סימטרית
אם ו- אז . לכן סימטרית אם ורק אם .
שלב 1 — עצמה סימטרית. נשחלף את הנתון ונשתמש ב-:
שלב 2 — גם מתחלפת עם . נשחלף את שני אגפי הנתון :
שלב 3 — ו- מתחלפות. נחשב את שתי המכפלות בנפרד. מצד אחד, בעזרת שלב 2:
ומצד שני, בעזרת הנתון :
ולכן .
מסקנה. ו- סימטריות (הנתון ושלב 1) ומתחלפות (שלב 3), ולכן לפי המשפט — כלומר סימטרית.
תשובה
עוד 4 שאלות במבחן הזה
השאלה שלמעלה פתוחה במלואה, בחינם. כל שאר השאלות פתורות באותה צורה — שלב אחר שלב, בשתי דרכי פתרון בכל מקום שאפשר, עם פירוט הטעויות שהבודקים רואים הכי הרבה.