שאלון 81. בבחינה חמש שאלות ויש לענות על ארבע בלבד; משקל כל שאלה — 25 נקודות. פתרון מלא לכל חמש השאלות, עם שתי דרכים אמיתיות בכל תת-סעיף. אי-דיוקים ודו-משמעויות בנוסח המקורי משוחזרים כלשונם ומוסברים בהערות.
תהיינה מטריצות סימטריות המקיימות . הוכיחו שאם מטריצה הפיכה אז .
📖 תוכנית פתרון
המטרה היא לצמצם את מתוך — אבל אי אפשר לצמצם ישירות, כי לכוד בין שני עותקים של . הרעיון המשותף לשתי הדרכים: להפעיל שחלוף על הנתון. הסימטריה הופכת את השחלוף לכלי שמחליף את סדר הגורמים בלי לשנות אותם, וכך מקבלים משוואה שנייה שממנה נובע ש- ו- מתחלפות. דרך 1 משחלפת מיד; דרך 2 מצמצמת את תחילה ורק אז משחלפת.
📜 משפטי מפתח
שחלוף מכפלה:, ובהכללה .
שחלוף ההופכית: אם הפיכה אז ; בפרט אם סימטרית והפיכה גם סימטרית.
צמצום במטריצה הפיכה: אם הפיכה ו- אז (כפל משמאל ב-).
דרך 1 — שחלוף הנתון ⇐ חילופיות ⇐ צמצום
שלב 1 — שחלוף שני האגפים. נשחלף את הנתון . באגף שמאל, לפי חוק שחלוף המכפלה ובעזרת ו-:
כלומר האגף השמאלי סימטרי בעצמו. באגף ימין:
שלב 2 — המשוואה השנייה. שתי מטריצות שוות ⇐ גם השחלופים שלהן שווים. לכן
שלב 3 — ו- מתחלפות. מהנתון ומשלב 2 נובע
שלב 4 — הצבת החילופיות בחזרה בנתון. נשתמש ב- כדי להזיז את שמאלה:
ומצד שני הנתון אומר , ולכן
שלב 5 — כאן ורק כאן נכנסת ההפיכות. נכפול משמאל ב-:
מסקנה., כלומר אידמפוטנטית (מטריצת הטלה).
דרך 2 — צמצום תחילה, ואז שחלוף
דרך זו הפוכה בסדר הפעולות: קודם מנצלים את ההפיכות, ורק אז את הסימטריה.
שלב 1 — כפל משמאל ב-. הפיכה, ולכן
כלומר, אם נסמן , קיבלנו את הזהות הקומפקטית
שלב 2 — סימטרית. מ- ומחוק שחלוף ההופכית:
שלב 3 — שחלוף השוויון . לפי חוק שחלוף המכפלה, ובעזרת הסימטריה של , של ושל :
והאגף הימני נותן . לכן , וכפל מימין ב- נותן
שלב 4 — סיום. יחד עם הנתון מקבלים , ומכאן
וכפל משמאל ב- נותן .
מסקנה. — זהה לדרך 1, אך ההפיכות נוצלה כבר בשלב הראשון.
תשובה
אידמפוטנטית
א!
מה הבודק מחפש בסעיף א — והערה: הסימטריה אינה הכרחית
⚠️ דברים שהבודק מחפש
1. אין לצמצם מ-. אינה נתונה כהפיכה — ואם היא הפיכה ומקיימת אז בהכרח . הצמצום השגוי הזה מקבל ומשם "", שזו טענה חזקה ושגויה.
2. היכן נוצלה הסימטריה? רק בשחלוף — ויש לומר זאת במפורש. סטודנט שכותב בלי לציין מאבד ניקוד.
3. היכן נוצלה ההפיכות? רק בצמצום האחרון של . אם שוכחים לומר זאת, ההוכחה נראית כאילו היא עובדת לכל — וזה לא נכון (ראו הדוגמה הנגדית למטה).
ℹ️ תצפית חזקה יותר — הסימטריה כלל אינה נחוצה
מספיק ש- תהיה הפיכה. נסמן ; אז . לכל מתקיים , ולכן , כאשר הוא המרחב העצמי של לע"ע . מצד שני דומה ל-, ולכן ו-. הסכום ישר (ערכים עצמיים שונים), ולכן . יחד עם ההכלה מקבלים ו- — כלומר לכסינה עם ערכים עצמיים ב- ולכן . לבסוף ולכן . ההפיכות של , לעומת זאת, כן הכרחית: עבור הנתון מתקיים לכל , ובפרט ל- שאינה אידמפוטנטית.
ב.1
(מתוך 12 נק')
תהיינה העתקות לינאריות. נתון שלכל ולכל מתקיים שהמכפלה הסקלרית . כמו כן . הוכיחו .
📖 תוכנית פתרון
הנתון על המכפלה הסקלרית הוא הכלה מוסווית: אם כל וקטור של מאונך לכל , אז שוכן כולו בתוך — והחיתוך המבוקש קורס אל . אחרי הקריסה נשאר רק לחסום את מלרע, וזה בדיוק מה שהנתון על נותן.
📜 משפטי מפתח
המשלים האורתוגונלי: הוא תת-מרחב, ו- ב-.
מונוטוניות הממד:.
תמונת הרכבה:.
דרך 1 — קריסת החיתוך אל
שלב 1 — תרגום הנתון להכלה. הנתון הוא: לכל ולכל מתקיים . במילים אחרות, כל מאונך לכל אברי , וזו בדיוק ההגדרה של שייכות למשלים האורתוגונלי:
שלב 2 — קריסת החיתוך. אם אז . כאן ו-, ולכן
כלומר די להוכיח .
שלב 3 — התמונה של ההרכבה מוכלת בתמונה של . יהי . אז קיים עם , וזה איבר בתמונה של . לכן
שלב 4 — הפעלת מונוטוניות הממד. מההכלה ומהנתון:
מסקנה. משלב 2 ומשלב 4:
דרך 2 — חסם הממדים הכללי לחיתוך
דרך זו מתחילה מהכלי הכללי ביותר, ומראה בדיוק היכן הוא אינו מספיק ומדוע הנתון על האנכיות חיוני.
שלב 1 — הכלי הכללי. לכל שני תת-מרחבים , מנוסחת הממדים ומ- נובע
שלב 2 — הצבה. נסמן ו-, ונציב (שממדו ) ו-:
שלב 3 — למה זה עדיין לא מספיק. החסם יכול להיות שלילי (למשל אם גדול), ולכן הוא כשלעצמו אינו נותן . חסרה עדיין העובדה שהחיתוך אינו "קטן" אלא מכיל את כל .
שלב 4 — הזרקת הנתון על האנכיות. הנתון נותן , ולכן ו-. יחד עם :
מסקנה. אותה תוצאה בדיוק — והשוואת השלבים 2 ו-4 מראה שהחסם הכללי לבדו חלש מדי, ושהנתון על המכפלה הסקלרית הוא שנושא את ההוכחה.
תשובה
ב.2
(מתוך 12 נק')
באותם נתונים, הוכיחו .
📖 תוכנית פתרון
לפי משפט הממדים, שקול בדיוק ל-. לכן כל העבודה היא ללחוץ את המספר בין שני חסמים: מלרע דרך ההכלה , ומלעיל דרך האנכיות . אותו נתון יחיד () עובד בשני הכיוונים.
📜 משפטי מפתח
משפט הממדים (הדרגה והאפסות): לכל מתקיים .
תמונת הרכבה:, ולכן (תמונה לינארית אינה מגדילה ממד).
ממד המשלים:.
דרך 1 — שני חסמים נפרדים על
שלב 1 — חסם מלעיל, דרך האנכיות. לפי סעיף ב.1, ולכן
אבל בסעיף ב.1 הוכחנו גם , ולכן
שלב 2 — חסם מלרע, דרך ההרכבה. התמונה של ההרכבה היא התמונה של תחת :
העתקה לינארית אינה מגדילה ממד, ולכן . יחד עם הנתון:
שלב 3 — לחיצה. משלבים 1 ו-2:
(ובפרט הנתונים בשאלה כופים ש- זוגי — אחרת אינו שלם ואין העתקה כזו כלל.)
שלב 4 — משפט הממדים., ולכן
דרך 2 — שרשרת אי-שוויונות אחת
דרך זו מארגנת את אותם מרכיבים בשרשרת אחת, וכך מייתרת את ההפרדה לשני שלבים.
שלב 1 — הסימונים., , .
שלב 2 — השרשרת. מ- ומ-, ומהאנכיות :
שלב 3 — קריאת שני האגפים. האי-שוויון השמאלי נותן ; הימני נותן , כלומר .
שלב 4 — סיום. לכן , ומשפט הממדים נותן
מסקנה. זהה לדרך 1. יתרון הניסוח הזה: רואים במבט אחד שכל שלושת הממדים נכלאים סביב , ולמעשה .
תשובה
ולכן זוגי
ב!
הערה — הנתונים כופים ש- זוגי
הערה — חייב להיות זוגי
השאלון כותב בלי לומר ש- זוגי, אך ההוכחה מראה שזו מסקנה ולא הנחה: הוא מספר שלם והוא נאלץ להיות שווה ל-, ולכן זוגי. במילים אחרות — עבור אי-זוגי אין כלל זוג העתקות המקיים את שני הנתונים גם יחד, והשאלה ריקה. ראוי לציין זאת בתשובה: זה מראה שהבנתם שהנתונים כופים מבנה ולא רק מגבילים אותו.
💡 דוגמה מוחשית שמראה שהמצב אפשרי
עבור : נגדיר ו-. אז , — אכן אנכיים. , ולכן ✓. ואמנם ✓.
עוד 4 שאלות במבחן הזה
השאלה שלמעלה פתוחה במלואה, בחינם. כל שאר השאלות פתורות באותה צורה — שלב אחר שלב, בשתי דרכי פתרון בכל מקום שאפשר, עם פירוט הטעויות שהבודקים רואים הכי הרבה.