קוד מועד 82. בבחינה שש שאלות: 1–4 משותפות, שאלה 5 למי שלא למדו את הקורס ב-2024 ושאלה 6 למי שהרישום האחרון שלהם הוא 2024; כל סטודנט עונה על ארבע, משקל כל שאלה 25 נקודות. כאן פתרון מלא לכל שש השאלות, ובכל סעיף שתי דרכי פתרון אמיתיות.
תהיינה ו- מטריצות ריבועיות מאותו סדר. נתון ש- לא סימטרית ו- סימטרית. הוכיחו שלא קיימת מטריצה הפיכה המקיימת וגם .
📖 תוכנית פתרון
הנתון הופך את הדמיון לחפיפה — וזו פעולה ששומרת על סימטריה. דרך 1 מניחה בשלילה שקיימת כזו ומשחזרת מ- את הסימטריה של . דרך 2 מפרקת את לרכיב סימטרי ורכיב אנטי-סימטרי ומראה שהחפיפה לא מערבבת ביניהם.
📜 שתי עובדות שנשתמש בהן
שחלוף מכפלה:, ולכן .
פירוק יחיד: כל מטריצה ריבועית נכתבת באופן יחיד כסכום של מטריצה סימטרית ומטריצה אנטי-סימטרית .
דרך 1 — שחלוף ישיר של השוויון
שלב 1 — הנחה בשלילה. נניח שקיימת מטריצה הפיכה עם ועם .
שלב 2 — החלפת ההופכית בשחלוף. מציבים ומקבלים
שלב 3 — משחלפים את שני האגפים.
שלב 4 — מפעילים את הנתון על . נתון ש- סימטרית, כלומר , ולכן
שלב 5 — מצמצמים. הפיכה, ולכן גם הפיכה. נכפול משמאל ב- ומימין ב-:
מסקנה. קיבלנו ש- סימטרית — בסתירה לנתון ש- אינה סימטרית. לכן כזו אינה קיימת.
דרך 2 — פירוק לרכיב סימטרי ורכיב אנטי-סימטרי
שלב 1 — מפרקים את . נכתוב
אז ו-. הנתון ש- אינה סימטרית אומר בדיוק ש-.
שלב 2 — נניח בשלילה שקיימת עם ו-. אז , ולכן
שלב 3 — כל רכיב שומר על אופיו. מחשבים שחלוף של כל אחד מהמחוברים:
כלומר סימטרית ו- אנטי-סימטרית.
שלב 4 — יחידות הפירוק. שלב 2 נותן פירוק של לסכום מטריצה סימטרית ומטריצה אנטי-סימטרית. מצד שני סימטרית, ולכן הפירוק שלה הוא . מיחידות הפירוק:
שלב 5 — חוזרים ל-. ו- הפיכות, ולכן כפל משמאל ומימין בהופכיות נותן .
מסקנה. פירושו , כלומר סימטרית — בסתירה לנתון. לכן כזו אינה קיימת.
💡 מה דרך 2 מלמדת מעבר לשאלה
היא מראה שהפעולה (חפיפה) שומרת בנפרד על תת-המרחב של המטריצות הסימטריות ועל תת-המרחב של האנטי-סימטריות. לכן חפיפה לעולם אינה יכולה להפוך מטריצה לא סימטרית לסימטרית — לא רק במקרה הפרטי של השאלה.
תשובה
ב.1
מטריצות מייצגות שקולות שורה (12 נק' לשני סעיפי ב)
יהיו ו- מרחבים לינאריים נוצרים סופית, ותהיינה העתקות לינאריות. נסמן ב- בסיס סדור של המרחב וב- בסיס סדור של המרחב . נתון שהמטריצות ו-, המייצגות את ההעתקות, שקולות שורה. הוכיחו או הפריכו בעזרת דוגמה נגדית את הטענה: מתקיים .
📜 הכלי המרכזי
פעולות שורה אינן משנות את קבוצת הפתרונות של מערכת הומוגנית. שקילות שורה של ו- פירושה עבור מטריצה הפיכה (מכפלת מטריצות אלמנטריות), ולכן .
זיהוי הגרעין דרך הקואורדינטות:, כי העתקת הקואורדינטות היא איזומורפיזם.
דרך 1 — הטענה נכונה: אותה מערכת הומוגנית
שלב 1 — סימון. נסמן ו-. נתון ש- ו- שקולות שורה.
שלב 2 — תרגום שקילות שורה. שקילות שורה פירושה שאפשר לעבור מ- ל- ברצף סופי של פעולות שורה אלמנטריות. כל פעולה כזו היא כפל משמאל במטריצה אלמנטרית הפיכה, ולכן
שלב 3 — שוויון מרחבי האפס. לכל וקטור קואורדינטות :
המעבר האחרון מותר כי הפיכה (כופלים ב-).
שלב 4 — חוזרים למרחבים. לכל ,
מסקנה. הטענה נכונה: .
דרך 2 — ברמת ההעתקות: עבור הפיכה
שלב 1 — בונים העתקה הפיכה מ-. כמו בדרך 1, עם הפיכה. נגדיר כהעתקה הלינארית היחידה שמייצגת אותה ביחס לבסיס , כלומר .
שלב 2 — איזומורפיזם. מטריצה מייצגת הפיכה שקולה להעתקה הפיכה, ולכן חח"ע ועל; בפרט
שלב 3 — מזהים את . לפי כלל המטריצה של הרכבה,
ומכיוון שהמטריצה המייצגת קובעת את ההעתקה באופן יחיד, .
שלב 4 — גרעין של הרכבה עם איזומורפיזם. לכל :
מסקנה. — הטענה נכונה.
הערה
התיאור הוא בדיוק מה שיסביר בסעיף הבא מדוע דווקא התמונות אינן חייבות להיות שוות: הרכבה עם איזומורפיזם משמאל אינה נוגעת בגרעין, אבל היא כן מזיזה את התמונה.
תשובה
ב.2
הטענה — הפרכה
בהמשך לנתונים של הסעיף הקודם ( ו- שקולות שורה), הוכיחו או הפריכו בעזרת דוגמה נגדית את הטענה: מתקיים .
⚠️ המלכודת
פעולות שורה שומרות על מרחב השורות ועל מרחב האפס, אבל הן אינן שומרות על מרחב העמודות — והתמונה של העתקה היא בדיוק מרחב העמודות של המטריצה המייצגת (בקואורדינטות ). לכן הדרגה נשמרת אבל התמונה עצמה יכולה לזוז.
דרך 1 — דוגמה נגדית מפורשת ב-
שלב 1 — בוחרים נתונים. ניקח ו- הבסיס הסטנדרטי. נגדיר
שלב 2 — כותבים את המטריצות המייצגות.
שלב 3 — הן שקולות שורה. החלפת שתי השורות () מעבירה את הראשונה לשנייה. זו פעולת שורה אלמנטרית, ולכן המטריצות שקולות שורה — הנתון מתקיים.
שלב 4 — מחשבים את התמונות.
מסקנה. אבל , ולכן . הטענה אינה נכונה.
💡 בדיקת שפיות
בדוגמה הזו — בדיוק כפי שסעיף ב.1 מחייב. גם הדרגות שוות ( ו-). ההבדל הוא רק במיקום התמונה.
דרך 2 — הסבר מבני, ומכאן בניית הדוגמה
שלב 1 — נשתמש בתיאור מסעיף ב.1. ראינו ש- עבור איזומורפיזם , וש- יכולה להיות כל איזומורפיזם של (כי יכולה להיות כל מטריצה הפיכה — כל מטריצה הפיכה היא מכפלת אלמנטריות).
שלב 2 — מה זה עושה לתמונה.
כלומר התמונה של היא התמונה של תחת . איזומורפיזם שומר על הממד, ולכן תמיד — אבל שום דבר לא מכריח אותו לקבע את תת-המרחב במקומו.
שלב 3 — בונים הפרכה מהתיאור. די לבחור שאיננו טריוויאלי, עם ו-, ואיזומורפיזם שמזיז את . הבחירה הפשוטה ביותר: , , ו- = החלפת הקואורדינטות , שהיא בדיוק ההעתקה של פעולת השורה .
שלב 4 — מקבלים את אותה דוגמה. עם יוצא
ואכן .
מסקנה. הטענה אינה נכונה; מה שכן נשמר הוא רק הממד: (כלומר שוויון דרגות).
תשובה
עוד 5 שאלות במבחן הזה
השאלה שלמעלה פתוחה במלואה, בחינם. כל שאר השאלות פתורות באותה צורה — שלב אחר שלב, בשתי דרכי פתרון בכל מקום שאפשר, עם פירוט הטעויות שהבודקים רואים הכי הרבה.