קוד מועד 98. בבחינה שש שאלות: 1–4 משותפות, שאלה 5 למי שלא למדו את הקורס ב-2024 ושאלה 6 למי שלמדו; כל סטודנט עונה על ארבע, משקל כל שאלה 25 נקודות. פתרון מלא לכל שש השאלות, ובכל סעיף שתי דרכי פתרון אמיתיות.
יהי מרחב לינארי נוצר סופית מעל שדה , ותהיינה העתקות לינאריות המקיימות ו-על. הוכיחו שההעתקה איזומורפיזם.
📖 תוכנית פתרון
שני הנתונים מדברים על שני אובייקטים שונים: על הוא נתון על , והחיתוך קושר בין השתיים. דרך 1 מנצלת את על כדי לקבל , וממנה שתי ההעתקות בנפרד יוצאות איזומורפיזמים. דרך 2 לא מפרקת בכלל — היא לוקחת ומגלגלת אותו עד .
📜 המשפט שמניע הכול
במרחב נוצר סופית, העתקה לינארית היא חח"ע אם ורק אם היא על, אם ורק אם היא איזומורפיזם. זו מסקנה ישירה ממשפט הממדים .
דרך 1 — כל אחת מ- ו- היא איזומורפיזם בנפרד
שלב 1 — תרגום הנתון ש- על. לפי ההגדרה,
שלב 2 — הנתון על החיתוך קורס. מציבים בנתון השני:
כלומר , ולכן חח"ע.
שלב 3 — משדרגים לאיזומורפיזמים. נוצר סופית, ולכן:
חח"ע איזומורפיזם.
על איזומורפיזם.
שלב 4 — הרכבה של איזומורפיזמים. אם הפיכות אז הפיכה, שכן
ובאותו אופן .
מסקנה. הפיכה, כלומר איזומורפיזם, ו-.
דרך 2 — חישוב ישיר של
שלב 1 — לוקחים איבר בגרעין. יהי , כלומר
שלב 2 — הווקטור יושב בשני המקומות בבת אחת. מהגדרת התמונה גם , ולכן
שלב 3 — חח"ע. על, ולכן ממשפט הממדים
כלומר . מהשלב הקודם , ולכן .
שלב 4 — מגרעין אפס לאיזומורפיזם. הראינו , כלומר חח"ע. שוב, ו- נוצר סופית, ולכן גם על.
מסקנה. חח"ע ועל, כלומר איזומורפיזם.
⚠️ בלי "נוצר סופית" הטענה פשוט לא נכונה
קחו (ממד אינסופי), ו-. אז על (לכל פולינום יש קדומה פולינומית), ולכן — שני הנתונים מתקיימים. אבל בעוד , כך ש- אינה חח"ע ובוודאי לא איזומורפיזם. הנתון "נוצר סופית" הוא בדיוק מה שמונע את זה.
תשובה
איזומורפיזם
ב
חישוב דטרמיננטה מסדר (12 נק')
חשבו את הדטרמיננטה הבאה:
💡 קודם כול — לזהות את המבנה
אל תפתחו לפי לפלס. שורה של המטריצה היא ועוד נוסף במקום באלכסון. בכתיב מטריצי, עם ו-:
זיהוי המבנה הזה הופך את השאלה משמונה שורות חישוב לשורה אחת.
דרך 1 — פעולות שורה ועמודה עד למטריצה משולשת
שלב 1 — מחסירים כפולות של השורה הראשונה. נסמן את השורות. מהמבנה ובפרט , ולכן
פעולת שורה מסוג "הוספת כפולה של שורה אחרת" אינה משנה את הדטרמיננטה, ולכן
שלב 2 — מנקים את העמודה הראשונה. נבצע את פעולת העמודה
גם היא אינה משנה את הדטרמיננטה. בשורה נקבל , ובשורה הראשונה :
שלב 3 — מטריצה משולשת עליונה. הדטרמיננטה היא מכפלת האלכסון:
מסקנה..
דרך 2 — ערכים עצמיים של עדכון מדרגה
שלב 1 — כותבים את כ- ועוד מטריצה מדרגה . עם ו- נסמן , כלומר לכל . מבדיקת איברים,
שלב 2 — איך פועלת על וקטור. לכל ,
שלב 3 — מוצאים בסיס של וקטורים עצמיים ל-.
המרחב הוא מרחב הפתרונות של משוואה אחת לא טריוויאלית, ולכן . לכל מתקיים — כלומר וקטורים עצמיים בת"ל לערך העצמי .
— וקטור עצמי לערך העצמי . שימו לב ש- כי , ולכן בת"ל בוקטורי .
קיבלנו וקטורים עצמיים בת"ל, כלומר לכסינה: עם .
שלב 4 — מלכסנים את באותו בסיס.
שלב 5 — הדטרמיננטה. דטרמיננטה נשמרת תחת דמיון:
מסקנה. — אותה תשובה.
הכלל הכללי
אותו חישוב בדיוק נותן את הנוסחה לכל שני וקטורי עמודה . כאן ו-, ומכאן בשורה אחת.
תשובה
עוד 5 שאלות במבחן הזה
השאלה שלמעלה פתוחה במלואה, בחינם. כל שאר השאלות פתורות באותה צורה — שלב אחר שלב, בשתי דרכי פתרון בכל מקום שאפשר, עם פירוט הטעויות שהבודקים רואים הכי הרבה.