קוד מועד 91. בבחינה שש שאלות: 1–4 משותפות, שאלה 5 למי שהסמסטר האחרון שלהם בקורס אינו 2024 ושאלה 6 למי שהוא כן 2024; כל סטודנט עונה על ארבע, משקל כל שאלה 25 נקודות. פתרון מלא לכל שש השאלות, ובכל סעיף שתי דרכי פתרון אמיתיות.
יהי אי זוגי, ותהיינה מטריצות המקיימות . הוכיחו שלפחות אחת מבין המטריצות או מטריצה לא הפיכה.
📜 שלוש עובדות שנשתמש בהן
כפליות הדטרמיננטה:.
כפל בסקלר: עבור ; כאשר אי-זוגי מתקבל .
קריטריון הפיכות: הפיכה .
📖 תוכנית פתרון
נניח בשלילה ששתי המטריצות הפיכות, נעביר אגף כדי לקבל , ונפעיל דטרמיננטה. דרך 1 מגיעה לזהות ומנצלת שסכום ריבועים ממשיים אינו מתאפס. דרך 2 אינה מפתחת זהות כלל אלא משווה סימנים: מכפלת שתי הדטרמיננטות היא חזקה רביעית, ולכן חיובית, בעוד שסימן אחד חייב להיות הפוך לשני.
דרך 1 — זהות הדטרמיננטות וסכום ריבועים
שלב 1 — העברת אגף. מהנתון נקבל
שלב 2 — דטרמיננטה לאגף שמאל. מכפליות הדטרמיננטה,
שלב 3 — דטרמיננטה לאגף ימין. כאן נכנס לתמונה שהמסדר אי-זוגי, ולכן :
שלב 4 — הזהות המתקבלת. השוואת שני האגפים ופירוק לגורמים:
שלב 5 — הנחת השלילה. נניח ששתי המטריצות הפיכות. אז וגם , ולכן ; בנוסף כסכום של שני מספרים ממשיים חיוביים ממש.
מכפלת שני גורמים שאינם אפס אינה אפס — בסתירה לשוויון שקיבלנו.
מסקנה. ההנחה נפלה, כלומר או : לפחות אחת מבין ו- אינה הפיכה.
דרך 2 — שיקול סימנים: חזקה רביעית מול היפוך סימן
שלב 1 — הנחת השלילה ושתי המטריצות הרלוונטיות. נניח ש- ו- הפיכות ונסמן
כמכפלות של מטריצות הפיכות, גם וגם הפיכות, כלומר ו-.
שלב 2 — סימן המכפלה . לפי כפליות הדטרמיננטה ו-, ולכן
מכפלה חיובית של שני מספרים שאינם אפס פירושה ש- ו- הם בעלי אותו סימן.
שלב 3 — מה אומרת המשוואה על הסימנים. מהנתון , וכיוון ש- אי-זוגי,
כלומר ו- הם בעלי סימנים הפוכים (ואף אחד מהם אינו אפס).
מסקנה. שני מספרים ממשיים שונים מאפס אינם יכולים להיות גם בעלי אותו סימן וגם בעלי סימנים הפוכים — סתירה. לכן לא ייתכן ששתיהן הפיכות, ולפחות אחת מבין ו- אינה הפיכה.
⚠️ בלי אי-זוגיות הטענה פשוט לא נכונה
עבור קיימות הפיכות המקיימות את המשוואה: ניקח ו-. אז וגם , ולכן , בעוד . לכן כל פתרון שאינו משתמש באי-זוגיות של הוא בהכרח שגוי.
תשובה
או
ב
, ו- ב- (12 נק')
יהיו ו- תת-מרחבים לינאריים של המקיימים ו-, כלומר לא מוכל ב-. נתון . חשבו את , ו-.
📜 הכלים
ממד המרחב: (בסיס ).
נוסחת הממדים לסכום:.
הכלה עם ממד שווה: אם ו- (סופי) אז .
📖 תוכנית פתרון
כל הנתונים הם אי-שוויונות בין ממדים, ולכן שתי הדרכים אורזות את אותם ארבעה אילוצים באופן שונה. דרך 1 בונה שרשרת אי-שוויונות מלמטה () ומלמעלה () ומראה שנשארת אפשרות אחת. דרך 2 ממצה את המקרים לפי הערך של ופוסלת כל אחד חוץ מאחד.
דרך 1 — שרשרת אי-שוויונות שסוגרת את כל הדרגות החופש
שלב 1 — חסם מלמטה ל-. שני הפולינומים הנתונים בעלי דרגות שונות ( ו-), ולכן הם בת"ל: אם אז מקדם נותן ומקדם נותן . שניהם ב-, ולכן
שלב 2 — חסם מלמעלה ל- מתוך . תמיד . אילו היה היה נובע , כלומר — בסתירה לנתון. לכן ההכלה ממש:
בצירוף שלב 1 מתקבל , ומהנתון גם .
שלב 3 — חסם מלמעלה מהמרחב כולו., ולכן לפי נוסחת הממדים
שלב 4 — סגירת הערכים. נציב את החסמים: , ו-. מכאן
כל האי-שוויונות הפכו לשוויונות: ו-. מ- ומ- נובע , ולכן .
שלב 5 — הסכום., כלומר .
מסקנה., , (ובדרך אגב ).
דרך 2 — מיצוי מקרים לפי
שלב 1 — טווח האפשרויות. כמו בדרך 1, ו-, ולכן . מ- נובע . נותרו שני מקרים בלבד.
שלב 2 — המקרה אינו אפשרי. אז , כלומר , ולכן
אבל — סתירה. (ואכן, מכיל כל תת-מרחב, ובפרט — בסתירה ישירה לנתון.)
שלב 3 — המקרה . האילוצים נותנים מיד . עבור נותרו או ; הערך נפסל בדיוק כמו בשלב 2 (הוא גורר ), ולכן .
שלב 4 — חישוב הסכום. לפי נוסחת הממדים
וזה עקבי עם : הסכום הוא כל המרחב.
מסקנה. בדיוק אותם ערכים כמו בדרך 1: , , .
💡 למה הנתון הוא בדיוק בגודל הנכון
שלושת הנתונים — שני פולינומים בת"ל בחיתוך, , ו- — כל אחד מהם הכרחי. בלי הפולינומים יכול היה להיות ; בלי הזוג היה אפשרי; ובלי אפשר היה לקחת עם .
תשובה
עוד 5 שאלות במבחן הזה
השאלה שלמעלה פתוחה במלואה, בחינם. כל שאר השאלות פתורות באותה צורה — שלב אחר שלב, בשתי דרכי פתרון בכל מקום שאפשר, עם פירוט הטעויות שהבודקים רואים הכי הרבה.