יש להוכיח שני דברים: החיתוך טריוויאלי, והסכום ממלא את . החלק הראשון קצר וזהה בשתי הדרכים. החלק השני נחלק: דרך 1 סופרת ממדים (ומשתמשת בסעיף א.1), ואילו דרך 2 בונה את הפירוק בפועל לכל ואינה נוגעת בממדים בכלל.
דרך 1 — חיתוך אפס ואי-שוויון ממדים
נסמן .
שלב 1 — החיתוך טריוויאלי. יהי . אז וגם , כלומר ; ובנוסף . לכן
כאשר השוויון האחרון הוא בדיוק תנאי הסכום הישר בנתון . לכן , ומכאן
שלב 2 — חסם תחתון על . מנוסחת הממדים, ומכך ש-:
שלב 3 — שימוש בסעיף א.1. לפי א.1 מתקיים , ולכן
שלב 4 — ספירת הסכום. לפי שלב 1 הסכום ישר, ולכן
שלב 5 — סגירה. תת-מרחב של שממדו לפחות הוא בהכרח עצמו. לכן , וביחד עם שלב 1:
השרשרת מכריחה שוויון בכל מקום, ולכן בפרט וגם — שני מסקנות שלא נדרשו אבל נופלות מהחשבון.
דרך 2 — בניית הפירוק במפורש, בלי ממדים
דרך זו אינה משתמשת בסעיף א.1 ואינה סופרת ממדים כלל — היא מראה על כל וקטור איך לפרק אותו.
שלב 1 — החיתוך טריוויאלי. בדיוק כמו בדרך 1: אם אז , ולכן .
שלב 2 — פירוק ראשון. יהי כלשהו. מהנתון קיימים
שלב 3 — פירוק שני, של . בפרט , ומהנתון קיימים
שלב 4 — התצפית המרכזית. נבודד . שני האיברים באגף ימין שייכים ל- (הראשון לפי שלב 2, השני כי ), ולכן גם ההפרש שייך ל-. יחד עם נקבל
שלב 5 — הרכבה מחדש. מציבים את בתוך :
והאיבר השני שייך ל-, כי וגם ו- סגור לחיבור.
מסקנה. כל נכתב כסכום של איבר מ- ואיבר מ-, כלומר ; יחד עם שלב 1 הסכום ישר:
דרך 1 אומרת 'הממדים מסתדרים ולכן זה חייב להיות כל ' ומסתמכת על סעיף א.1 ועל סופיות הממד. דרך 2 עצמאית לחלוטין מסעיף א.1, ותקפה מילה במילה גם אם אינו נוצר סופית — היא בונה את הפירוק ולא רק סופרת אותו.