שאלון 95. בבחינה שש שאלות: 1–4 משותפות, שאלה 5 למי שלא למדו את הקורס ב-2024 ושאלה 6 למי שלמדו; כל סטודנט עונה על ארבע, משקל כל שאלה 25 נקודות. פתרון מלא לכל שש השאלות, ובכל סעיף שתי דרכי פתרון אמיתיות.
נתונות מטריצות מסדר ו- מסדר . נגדיר את הקבוצה באופן הבא: . כלומר, הקבוצה מכילה את כל המטריצות שמתקבלות מחישוב המכפלה עבור כל . הוכיחו ש- תת-מרחב לינארי של .
📖 תוכנית פתרון
יש כאן שתי דרכים סטנדרטיות והן שונות באמת. דרך 1 מזהה את כתמונה של העתקה לינארית ומסתמכת על משפט מוכן. דרך 2 לא מזכירה העתקות כלל ומאמתת ישירות את שלושת תנאי תת-המרחב. שימו לב לוודא קודם שהמכפלה בכלל מוגדרת.
⚠️ קודם כול — האם המכפלה מוגדרת?
מסדר , מסדר ו- מסדר . לכן מסדר ו- מסדר — כלומר באמת . בלי הבדיקה הזו כל השאלה חסרת משמעות.
דרך 1 — היא התמונה של העתקה לינארית
שלב 1 — הגדרת ההעתקה המתאימה. נגדיר
שלב 2 — לינארית. לכל ולכל :
שתי התכונות נובעות מפילוג הכפל המטריצי ומכך שסקלר 'עובר' דרך מכפלת מטריצות.
שלב 3 — זיהוי . לפי ההגדרה .
מסקנה. התמונה של העתקה לינארית היא תמיד תת-מרחב של מרחב היעד, ולכן תת-מרחב לינארי של .
דרך 2 — בדיקה ישירה של שלושת תנאי תת-המרחב
שלב 1 — מכילה את מטריצת האפס. נבחר :
בפרט .
שלב 2 — סגירות לחיבור. יהיו ו- שני איברים של :
וכיוון ש-, גם הסכום שייך ל-.
שלב 3 — סגירות לכפל בסקלר. יהי ויהי :
וכיוון ש-, גם שייך ל-.
מסקנה. תת-קבוצה לא ריקה של הסגורה לחיבור ולכפל בסקלר, ולכן היא תת-מרחב.
💡 מה מבדיל בין הדרכים
דרך 1 קצרה יותר אבל מסתמכת על המשפט 'התמונה היא תת-מרחב'; דרך 2 עצמאית לגמרי ומתאימה גם למי שטרם למד העתקות לינאריות. שתיהן מקבלות ניקוד מלא.
תשובה
עבור
ב.1
מהנתון נובע (16 נק' לשני סעיפי ב)
נתון ש-. הוכיחו ש-.
📜 שני הכלים
משפט הממדים: לכל העתקה לינארית מתקיים .
דרגת מכפלה: לכל מכפלה מוגדרת .
דרך 1 — ספירת ממדים של העתקה על
שלב 1 — תרגום הנתון. לפי סעיף א, עבור . הנתון אומר בדיוק ש-על.
שלב 2 — אי-שוויון הממדים. ממשפט הממדים,
שלב 3 — הצבת הממדים., ולכן
מסקנה. שלמים חיוביים, והפונקציה עולה עליהם, ולכן .
דרך 2 — שיקול דרגות דרך מטריצת היחידה
שלב 1 — מוצאים מטריצה נוחה בתוך . מ- נובע בפרט , כלומר קיימת עם
שלב 2 — חסם על הדרגה מלמטה. לפי כלל דרגת מכפלה,
שלב 3 — חסם על הדרגה מלמעלה. מסדר , ולכן .
מסקנה. משרשור שני החסמים, , כלומר .
💡 בונוס של דרך 2
היא נותנת יותר מהנדרש: בדיוק (כי גם ), כלומר בעלת דרגת שורות מלאה. זו בדיוק העובדה שתשמש בסעיף ב.2 עבור .
תשובה
ב.2
שורות פורשות את
נתון ש-. הוכיחו ששורות המטריצה פורשות את המרחב .
📖 תוכנית פתרון
מסדר , ולכן שורותיה הן וקטורים ב- ומרחב השורות הוא תת-מרחב של . צריך להראות , כלומר . דרך 1 משיגה זאת בשני חסמי דרגה. דרך 2 מוכיחה בשלילה, בעזרת ההבחנה שכל שורה של היא צירוף לינארי של שורות .
דרך 1 — דרגה מלאה של בשני חסמים
שלב 1 — אותה נקודת פתיחה כמו בב.1. קיימת עם .
שלב 2 — חסם מלמטה. נכתוב ונשתמש בכלל דרגת מכפלה בגורם הימני:
שלב 3 — חסם מלמעלה. ל- יש עמודות, ולכן . יחד: .
שלב 4 — מדרגה למרחב השורות. דרגת מטריצה שווה לממד מרחב השורות שלה, ולכן .
מסקנה. תת-מרחב של שממדו , ולכן
כלומר שורות פורשות את .
דרך 2 — בשלילה: מטריצה שבוודאות אינה ב-
שלב 1 — כל איבר של 'חי' בתוך מרחב השורות של . לכל נסמן . לפי הגדרת הכפל, השורה ה- של היא
כלומר צירוף לינארי של שורות . לכן כל שורה של כל מטריצה ב- שייכת ל-.
שלב 2 — ההנחה בשלילה. נניח ששורות אינן פורשות את , כלומר . אז קיים וקטור עם .
שלב 3 — בניית עד לסתירה. נגדיר שהשורה הראשונה שלה היא וכל שאר שורותיה אפס. לפי שלב 1 המטריצה אינה יכולה להיות בצורה , כי שורתה הראשונה אינה ב-. לכן .
מסקנה. אבל — סתירה. לכן ההנחה נופלת, ושורות אכן פורשות את .
הערה
דרך 2 אינה משתמשת כלל במושג הדרגה — רק בהגדרת הכפל המטריצי. היא מתאימה למי שרוצה טיעון 'ידני' לחלוטין.
תשובה
עוד 5 שאלות במבחן הזה
השאלה שלמעלה פתוחה במלואה, בחינם. כל שאר השאלות פתורות באותה צורה — שלב אחר שלב, בשתי דרכי פתרון בכל מקום שאפשר, עם פירוט הטעויות שהבודקים רואים הכי הרבה.