שאלון 84. בבחינה שש שאלות: 1–4 משותפות, שאלה 5 למי שלא למד את הקורס ב-2024 ושאלה 6 למי שלמד; יש לענות על ארבע בלבד, 25 נקודות לשאלה. כאן פתורות כל שש, ובכל סעיף שתי דרכי פתרון אמיתיות.
יהיו שני תתי-המרחבים הבאים: , . מצאו בסיס וממד ל-.
הערה על הסימון
בקורס זה הוא מרחב הפולינומים הממשיים מדרגה קטנה ממש מ-, כלומר וממדו . הסימון עקבי עם שאר שאלוני הקורס באותה שנה (למשל שאלון 81 של אותו מועד, שבו הוא ממימד ). בסעיף א.2 נראה מה היה קורה תחת הקריאה השנייה.
💡 שני התנאים של הם בסך הכול
השאלון כותב שרשרת שוויונות: וגם. חיבור שתי המשוואות נותן וחיסורן נותן , ולהפך — אם שני הביטויים מתאפסים. לכן
📖 תוכנית פתרון
דרך 1 מתרגמת את שני התנאים למערכת הומוגנית בארבעת מקדמי הפולינום ומדרגת אותה. דרך 2 אינה נוגעת במקדמים כלל: לפי משפט הגורם, שקול לכך ש- מחלק את , ומגבלת הדרגה קובעת מיד את כל האפשרויות.
דרך 1 — מערכת הומוגנית במקדמים ודירוג גאוס
שלב 1 — כתיבת התנאים כמערכת. נכתוב . אז
שלב 2 — דירוג. נחסר את המשוואה הראשונה מהשנייה:
שתי שורות שאינן אפס, כלומר דרגת המערכת היא ; המשתנים התלויים הם והחופשיים .
שלב 3 — הצבה לאחור. מהשורה השנייה , ומהראשונה
שלב 4 — קריאת הבסיס. נציב ואחר כך :
שלב 5 — בדיקה., ; , . שני הפולינומים בלתי תלויים (רק נושא את ).
מסקנה., ובסיס אפשרי הוא .
דרך 2 — משפט הגורם: הוא כפולות של
📜 משפט הגורם
לפולינום מעל שדה מתקיים אם ורק אם מחלק את . עבור שני שורשים שונים נובע מכך ש- אם ורק אם מחלק את .
שלב 1 — תיאור בלי מקדמים. לפי המשפט, שקול לכך ש- מחלק את , כלומר
שלב 2 — מה מגבלת הדרגה מאלצת., ולכן התנאי שקול ל-. כל כזה הוא .
שלב 3 — הפירוק המפורש.
כלומר , ושני הפולינומים בלתי תלויים (דרגות ו-).
שלב 4 — אימות מול דרך 1. שני הבסיסים פורשים את אותו מרחב:
מסקנה. — זהה לדרך 1, עם הבסיס הטבעי .
💡 בדיקת שפיות דרך העתקת ההצבה
אפשר לראות את הממד גם בלי לפתור: ההעתקה , , לינארית ועל (למשל ו- בלתי תלויים), ו-. ממשפט הממדים .
תשובה
א.2
האם תת-מרחב של ? (מתוך 15 נק')
עבור ו- — האם תת-מרחב לינארי של ?
⚠️ מלכודת: התשובה האוטומטית "לא" שגויה כאן
איחוד של שני תתי-מרחבים בדרך כלל אינו תת-מרחב, ורבים עונים "לא" מיד. אבל יש בדיוק חריג אחד, והשאלה הזו בנויה עליו: אם אחד המרחבים מוכל בשני, האיחוד הוא פשוט הגדול מביניהם. לכן חובה לבדוק הכלה לפני שעונים.
📜 משפט — מתי איחוד תת-מרחבים הוא תת-מרחב
יהיו תתי-מרחבים של מרחב לינארי . אז תת-מרחב של אם ורק אם או .
הכיוון הקל: אם למשל אז , שהוא תת-מרחב.
הכיוון השני: נניח ששתי ההכלות נכשלות, ונבחר ו-. אילו היה סגור לחיבור, היה . אם אז — סתירה; ואם אז — סתירה.
📖 תוכנית פתרון
בשתי הדרכים המטרה זהה: להראות ש-. דרך 1 מזהה את עצמו כקבוצת כל הפולינומים ב- המתאפסים ב-, ואז ההכלה מיידית. דרך 2 אינה מזהה את כלל, אלא כותבת במפורש כל אחד משני איברי הבסיס של כצירוף לינארי של שלושת היוצרים של .
דרך 1 — זיהוי כתת-המרחב
שלב 1 — כל יוצר של מתאפס ב-.
כל אחד מהם מתחלק ב-, ולכן מתאפס ב-. מכיוון ש- נפרש עליהם ותנאי ההתאפסות שמור תחת צירופים לינאריים, .
שלב 2 — שוויון הממדים. שלושת היוצרים הם מדרגות עם מקדמים מובילים שאינם אפס, ולכן בלתי תלויים לינארית: . מנגד הוא גרעין הפונקציונל הלינארי שאינו אפס על מרחב מממד , ולכן .
שלב 3 — הכלה עם שוויון ממדים היא שוויון. מ- ו- נובע
שלב 4 — ההכלה . לפי סעיף א.1, כל מקיים ; בפרט , ולכן .
מסקנה., ולכן — שהוא תת-מרחב (הוא נפרש). כן, תת-מרחב לינארי של , והוא שווה ל-.
דרך 2 — כתיבת בסיס במפורש בעזרת יוצרי
שלב 1 — מספיק לבדוק בסיס. נסמן , , . תת-מרחב מוכל בתת-מרחב אחר אם ורק אם כל איברי בסיס שלו מוכלים בו, כי השני סגור לצירופים לינאריים. לכן די להראות ש- עבור הבסיס של מסעיף א.1.
שלב 2 — הצירוף הראשון. נחפש עם . השוואת מקדמים לפי נותנת , , , , כלומר :
שלב 3 — הצירוף השני. באותה דרך עבור : המקדם החופשי נותן , ואז ו-:
שלב 4 — הפעלת המשפט. שני איברי הבסיס של שייכים ל-, ולכן . לפי המשפט על איחוד תת-מרחבים, תת-מרחב — ולמעשה .
מסקנה.כן — זהה לדרך 1, אבל כאן ההכלה הוצגה בבנייה, בלי לזהות את מראש.
הערה — מה קורה תחת הקריאה השנייה של
אילו היה מסמן פולינומים מדרגה (ממד ), היה מכיל גם את שדרגתו , בעוד ש- מוכל בפולינומים מדרגה — ולכן . גם (למשל אך ), ואז התשובה הייתה לא. הפתרון לעיל נכתב לפי מוסכמת הקורס, שבה .
תשובה
כן: ולכן
ב
(10 נק')
תהיינה ו- מטריצות ריבועיות מסדר המקיימות . הוכיחו .
📖 תוכנית פתרון
הנתון הוא בדיוק , כלומר הפיכה ו-. משם נובעת התחלפות , ואיתה הפירוק . דרך 1 מסיימת במשפט שכפל במטריצה הפיכה אינו משנה דרגה. דרך 2 אינה משתמשת במשפט הזה כלל, אלא משווה גרעינים ומפעילה את משפט הממדים.
⚠️ הפירוק אינו מובן מאליו
במטריצות , ולכן השוויון ל- תקף רק כאשר . כאן ההתחלפות אינה נתונה — היא נובעת מהנתון, וחייבים להוכיח אותה (שלב 2 בדרך 1). מי שמדלג על ההוכחה הזו מאבד את עיקר הניקוד.
דרך 1 — כפל במטריצה הפיכה שומר דרגה
שלב 1 — הפיכה ו-. נכתוב את הנתון כ-. אז , ובפרט , כלומר הפיכה. הכפלה משמאל ב- נותנת
שלב 2 — ו- מתחלפות. מ- נובע גם , כלומר . נחסר מזה את הנתון :
שלב 3 — הפירוק. כעת ההתחלפות מותרת, ולכן
📜 משפט — כפל במטריצה הפיכה אינו משנה את הדרגה
אם הפיכה מסדר מתאים ו- מטריצה כלשהי, אז וגם . הסיבה: תמיד, ומאידך .
שלב 4 — הפעלת המשפט עם .
מסקנה..
דרך 2 — השוואת גרעינים ומשפט הממדים
שלב 1 — אותה נקודת פתיחה. כמו בדרך 1: הפיכה, , ו-. מכאן והלאה לא נשתמש כלל במשפט על שימור דרגה.
שלב 2 — תיאור הגרעין של המכפלה. עבור ,
כלומר — התמונה של תחת .
שלב 3 — שומרת ממדים. הפיכה, ולכן ההעתקה חד-חד ערכית; צמצומה לתת-מרחב הוא איזומורפיזם על , ולכן . עם :
שלב 4 — משפט הממדים משלים את התמונה. לכל מטריצה מסדר מתקיים . לכן
מסקנה. אותה תוצאה כמו בדרך 1, דרך הגרעין במקום דרך הדרגה.
💡 מה עוד אפשר לקרוא מהנתון
הנתון קובע יותר מכפי שנדרש: הפיכה, , וכל מטריצה כאן היא פולינום ב-. בפרט ו- — ואפשר לוודא ישירות שהדרגות שוות גם בכתיב זה.
תשובה
עוד 5 שאלות במבחן הזה
השאלה שלמעלה פתוחה במלואה, בחינם. כל שאר השאלות פתורות באותה צורה — שלב אחר שלב, בשתי דרכי פתרון בכל מקום שאפשר, עם פירוט הטעויות שהבודקים רואים הכי הרבה.