יהי בסיס סדור של המרחב הלינארי ויהי בסיס סדור של המרחב הלינארי . תהיינה ו- העתקות לינאריות. נתון ש . כמו כן, המטריצות המייצגות את ההעתקות ו- הן , , . מצאו את כל הערכים של המקיימים את כל תנאי השאלה.
השאלון אינו מסביר את מוסכמת הסימון, אך היא נקבעת חד-משמעית מתוך הנתונים עצמם. ראשית, חייב להיות ממימד (המטריצות ריבועיות מסדר ), כלומר פולינומים מדרגה קטנה ממש מ- — וזה עקבי עם שאלה 3, שבה מכיל פולינומים עד . שנית, ב- המדד התחתון הוא בסיס הטווח והעליון בסיס התחום: מ- (בסיס ) ל- (בסיס ). עם מוסכמת זו כלל ההרכבה מתלכד בדיוק: , וגם הכתיב בסעיף ב.1 מקבל משמעות נכונה. זו הקריאה היחידה שמייצרת שאלה עקבית.
המשפט המרכזי הוא ש- של העתקה שווה לדרגת כל מטריצה המייצגת אותה. לכן התנאי הוא אי-שוויון בין שתי דרגות, ושתי הדרגות תלויות ב-. דרך 1 מחשבת את שתי הדטרמיננטות ומפרידה למקרים. דרך 2 מדרגת את שתי המטריצות בגאוס עם הפרמטר, וקוראת את הדרגות ישירות — כך רואים במו העיניים מה קורה במקרה הגבולי .
דרך 1 — דטרמיננטות פיצול למקרים
שלב 1 — תרגום התנאי לדרגות. לכל העתקה לינארית שווה לדרגת המטריצה המייצגת אותה (בכל זוג בסיסים), ולכן התנאי הנתון הוא בדיוק
שלב 2 — הדטרמיננטה של . פיתוח לפי השורה הראשונה:
שלב 3 — הדטרמיננטה של . באותו אופן:
שלב 4 — המקרה . אז , ולכן . התנאי הופך ל-, כלומר . יחד עם נשאר .
שלב 5 — המקרה (חייב בדיקה נפרדת). כאן , ולכן צריך לחשב את שתי הדרגות בפועל:
שתי הדרגות שוות ל-, ולכן אי-השוויון החזק אינו מתקיים — נפסל.
שלב 6 — אימות .
ואכן .
מסקנה. הוא הערך היחיד.
דרך 2 — דירוג גאוס פרמטרי (בלי דטרמיננטות)
שלב 1 — דירוג . נעביר את השורה לראש ונאפס תחתיה:
שלב 2 — מתי שתי השורות התחתונות תלויות. הדטרמיננטה של הבלוק היא
לכן ; ועבור שתי השורות הן ו- — זהות — כלומר .
שלב 3 — דירוג . נעביר את השורה לראש:
שלב 4 — תנאי לדרגה קטנה מ-.
השורה המובילה לעולם אינה אפס, ולכן .
שלב 5 — השוואת הדרגות בכל תחום.
מסקנה. — זהה לדרך 1, וכאן רואים במפורש מדוע נופל: הוא מוריד את שתי הדרגות בבת אחת.