דרגת מטריצה עם שני פרמטרים, וממד מרחב הפתרונות של מערכת הומוגנית
א
קביעת לפי הערכים של ו- (15 נק')
תהי המטריצה הבאה: . קבעו את הדרגה של המטריצה בהתאם לערכים השונים של ו-.
📖 תוכנית פתרון
דרך 1 מחשבת את הדטרמיננטה, מפרקת אותה לגורמים, ומטפלת בנפרד בכל מקרה שבו היא מתאפסת. דרך 2 לא נוגעת בדטרמיננטה כלל אלא מדרגת את המטריצה בגאוס ומונה צירים. שתי הדרכים חייבות להגיע לאותה חלוקה למקרים — וזו בדיקה עצמית טובה.
⚠️ המלכודת של השאלה
קל להניח שכל מקרה מנוון מוריד את הדרגה ל-2. זה לא נכון כאן: כאשר כל שלוש השורות זהות והדרגה יורדת ל-1. מי שמפספס את זה מפסיד את עיקר הניקוד.
דרך 1 — דטרמיננטה, פירוק לגורמים, ואז המקרים המנוונים
שלב 1 — פיתוח הדטרמיננטה לפי השורה הראשונה.
שלב 2 — כינוס ופירוק. מוציאים ו- כגורמים משותפים:
שלב 3 — המקרה הכללי. בדיוק כאשר , כלומר כאשר וגם וגם .
שלב 4 — המקרה . נציב במטריצה:
כל שלוש השורות שוות לשורה , שאינה שורת אפסים לאף . לכן — לכל כולל .
שלב 5 — המקרה עם . העמודה האמצעית מתאפסת:
הדרגה שווה לדרגת המטריצה מסדר . השורות ו- אינן פרופורציוניות כי , ולכן הדרגה היא 2.
שלב 6 — המקרה עם . כאן , ולכן . מצד שני המינור מהשורות 2 ו-3 והעמודות 1 ו-3 הוא
ולכן , כלומר .
מסקנה. כאשר ; כאשר וגם וגם ; ובכל שאר המקרים .
דרך 2 — דירוג גאוס בלי לחשב דטרמיננטה
שלב 1 — חיסור השורה השלישית משתי הראשונות.
שלב 2 — המקרה . שתי השורות הנ"ל מתאפסות, כלומר . נשארת שורה יחידה שאינה אפס, ולכן .
שלב 3 — המקרה . אפשר לחלק ב-, ולכן שקולת שורות ל-
שלב 4 — קריאת הדרגה מהצורה המדורגת.
ו-: שלושה צירים בעמודות 1, 2, 3, ולכן .
: השורות הן , ו-; השתיים האחרונות פרופורציוניות (שתיהן בתוך ), ולכן .
ו-: השורה השלישית מתאפסת ונשארים שני צירים, ולכן .
מסקנה. אותה חלוקה למקרים בדיוק כמו בדרך 1.
💡 מה מבדיל בין הדרכים
דרך 1 מזהה מיד את קבוצת הפרמטרים שבה הדרגה מלאה, אבל מחייבת לבדוק ביד כל מקרה מנוון. דרך 2 מייצרת את כל המקרים מעצמה — הצירים 'נעלמים' לנגד העיניים — אבל דורשת זהירות בחלוקה ב-, שמותרת רק כאשר .
תשובה
אחרת
ב
ממד מרחב הפתרונות של עבור מסדר (10 נק')
תהי . נתון שלכל וקטור יש פתרון למערכת . חשבו את ממד מרחב הפתרונות של המערכת .
📖 תוכנית פתרון
הנתון 'לכל יש פתרון' הוא בדיוק הקביעה שהדרגה מלאה בשורות. דרך 1 מתרגמת זאת למרחב העמודות ומשתמשת בנוסחת הממד; דרך 2 עובדת בצורה המדורגת וסופרת משתנים חופשיים.
סימון
מסמן במאגר הזה את מרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית , ו- מסמן דרגה.
דרך 1 — מרחב העמודות ונוסחת הממד
שלב 1 — תרגום הנתון. המערכת פתירה בדיוק כאשר הוא צירוף לינארי של עמודות , כלומר כאשר שייך למרחב העמודות .
לכן הנתון אומר .
שלב 2 — חישוב הדרגה. הדרגה היא ממד מרחב העמודות:
(זהו גם הערך המקסימלי האפשרי, שהרי .)
שלב 3 — נוסחת הממד למערכת הומוגנית. למטריצה מסדר מתקיים ; כאן (מספר העמודות, כלומר מספר הנעלמים):
מסקנה. ממד מרחב הפתרונות של הוא .
דרך 2 — ספירת משתנים חופשיים בצורה המדורגת
שלב 1 — למה אין שורת אפסים. נניח בשלילה שבצורה המדורגת הקנונית של מופיעה שורת אפסים.
מכיוון שפעולות שורה על המטריצה המורחבת הן הפיכות, אפשר לבחור כך שהערך האחרון באותה שורה יהיה ; אז אותה שורה נותנת את המשוואה והמערכת אינה פתירה — בסתירה לנתון.
שלב 2 — כמה צירים יש. לכן בכל אחת משלוש השורות של הצורה המדורגת יש ציר, כלומר יש בדיוק משתנים תלויים (קשורים).
שלב 3 — כמה משתנים חופשיים. יש נעלמים בסך הכול, ולכן
שלב 4 — מהמשתנים החופשיים לבסיס. הצבת באחד המשתנים החופשיים ו- בשני נותנת שני פתרונות של ; הם בלתי תלויים (בגלל התבנית ו- ברכיבים החופשיים) ופורשים את כל מרחב הפתרונות.
מסקנה. — אותה תשובה בדיוק.
⚠️ טעות נפוצה
לכתוב . הנוסחה משתמשת ב-, מספר העמודות (הנעלמים), ולא ב-, מספר השורות (המשוואות). כאן ו-.
תשובה
עוד 4 שאלות במבחן הזה
השאלה שלמעלה פתוחה במלואה, בחינם. כל שאר השאלות פתורות באותה צורה — שלב אחר שלב, בשתי דרכי פתרון בכל מקום שאפשר, עם פירוט הטעויות שהבודקים רואים הכי הרבה.