קוד מועד 83. בבחינה חמש שאלות; יש לענות על ארבע בלבד, ומשקל כל שאלה 25 נקודות. פתרון מלא לכל חמש השאלות, ובכל סעיף שתי דרכי פתרון אמיתיות ותשובה ממוסגרת.
פרישה ושחלוף, ודרגה של מטריצה שמרחב השורות ומרחב העמודות שלה נחתכים טריוויאלית
א
אם ורק אם (12 נק')
תהיינה הקבוצות הבאות: , , כאשר , . הוכיחו ש- אם ורק אם .
מוסכמת סימון
בקורס הזה הוא מרחב הפולינומים מדרגה קטנה ממש מ-3, כלומר , וממדו 3. זה מה שהופך את המשפט 'שלושה וקטורים פורשים אם ורק אם הדרגה 3' לרלוונטי כאן.
📖 תוכנית פתרון
הרעיון היחיד בשאלה: תרגמו את שתי הקבוצות לקואורדינטות בבסיס וסדרו כל אחת כשורות של מטריצה. אז יתברר שמטריצת היא בדיוק המשוחלפת של מטריצת , ומכאן זה משפט על שחלוף — דרגה (דרך 1) או דטרמיננטה (דרך 2).
הצעד הראשון, המשותף לשתי הדרכים. בבסיס הסטנדרטי וקטור הקואורדינטות של הוא . נסדר את איברי כשורות:
ואת איברי באותו אופן:
השוויון הוא לב השאלה: המעבר מ- ל- הוא בדיוק שחלוף מטריצת המקדמים.
דרך 1 — דרגה:
שלב 1 — קריטריון פרישה. קבוצה של שלושה וקטורים במרחב ממימד 3 פורשת אותו אם ורק אם דרגת מטריצת השורות שלה היא 3:
שלב 2 — משפט השחלוף. דרגת השורות ודרגת העמודות של מטריצה שוות, ולכן
שלב 3 — שרשור. משני השלבים, .
מסקנה..
דרך 2 — דטרמיננטה:
שלב 1 — קריטריון דטרמיננטי. שלושה וקטורים במרחב ממימד 3 פורשים אותו אם ורק אם הם בלתי-תלויים לינארית, אם ורק אם הדטרמיננטה של מטריצת הקואורדינטות שלהם שונה מאפס:
שלב 2 — לשחלוף אין השפעה על הדטרמיננטה. זהו משפט בסיסי:
שלב 3 — שני התנאים זהים., כלומר שתי הקבוצות פורשות יחד או שאף אחת מהן אינה פורשת.
מסקנה..
💡 מה מבדיל בין הדרכים
דרך 1 עובדת בכל ממד ובכל מספר וקטורים; דרך 2 מנצלת שהמטריצה כאן ריבועית ומספר הווקטורים שווה בדיוק לממד. בבחינה שתיהן מלאות בניקוד.
תשובה
ב
ו- מכריחים (13 נק')
תהי . נסמן ב- את מרחב השורות של המטריצה וב- את מרחב העמודות של המטריצה . נתון שמתקיים . הוכיחו ש-.
📜 שלושת הכלים
דרגת שורות = דרגת עמודות:.
נוסחת הממדים לסכום:.
סכום ישר: אם אז .
שני המרחבים ו- הם תת-מרחבים של אותו (שורות באורך 3 ועמודות בגובה 3), ולכן מותר לדבר על החיתוך והסכום שלהם — בלי ההערה הזו השאלה כלל אינה מוגדרת.
דרך 1 — ספירת ממדים של סכום ישר
שלב 1 — שני המרחבים מאותו ממד. נסמן . אז
שלב 2 — הסכום ישר. מהנתון , ולכן
שלב 3 — חסם מלמעלה. הסכום הוא תת-מרחב של , ולכן
שלב 4 — חסם מלמטה., ולכן בעלת שורה שאינה אפס, ומכאן .
מסקנה. מספר שלם המקיים , ולכן .
דרך 2 — פסילת המקרים ו- אחד-אחד
שלב 1 — המקרה . אז הפיכה, שלוש שורותיה בלתי-תלויות ולכן פורשות את , וכך גם שלוש עמודותיה:
בסתירה לנתון.
שלב 2 — המקרה . אז שני המרחבים הם מישורים דרך הראשית ב-. מנוסחת הממדים,
אסור לדלג על ההצדקה ש- — בלעדיה אין שום סיבה ששני המרחבים יהיו מאותו ממד, וכל הספירה מתמוטטת. וחשוב לא פחות: לומר שהחיתוך והסכום מוגדרים רק משום ששניהם תת-מרחבים של אותו .
תשובה
עוד 4 שאלות במבחן הזה
השאלה שלמעלה פתוחה במלואה, בחינם. כל שאר השאלות פתורות באותה צורה — שלב אחר שלב, בשתי דרכי פתרון בכל מקום שאפשר, עם פירוט הטעויות שהבודקים רואים הכי הרבה.