קוד מועד 96. בבחינה חמש שאלות ויש לענות על ארבע בלבד; משקל כל שאלה 25 נקודות. פתרון מלא לכל חמש השאלות, ובכל סעיף שתי דרכי פתרון אמיתיות. הכותרת התחתונה בשאלון המקורי היא "20109 - 96 / מועד ב – 2024ב".
דטרמיננטה מרוכבת מדומה טהורה, ותמונות של חזקות העתקה
א.1
(15 נק' לסעיף א כולו) מדומה טהור לכל
תהי המטריצה הבאה: הוכיחו שלכל ערך של הדטרמיננטה של היא מספר מדומה טהור.
📖 תוכנית פתרון
צריך להראות שהחלק הממשי של מתאפס, ולשם כך פשוט מחשבים את הדטרמיננטה עד הסוף. דרך 1 היא פיתוח לפלס ישיר לפי השורה הראשונה. דרך 2 מייצרת קודם אפס בעזרת פעולת שורה, וכך חוסכת מחובר שלם. שתיהן חייבות להסתיים באותו ביטוי, ובו כל תלות ב- מרוכזת בשני הגדלים הממשיים ו-.
הערה — מהו , ומהו 'מדומה טהור'
הוא הצמוד המרוכב של — לא משתנה חדש. שני הצירופים ו- ממשיים תמיד, וזה כל סוד הסעיף. 'מספר מדומה טהור' כאן הוא מספר מהצורה עם — כולל ; שאם לא כן הסעיף הבא, שבו , היה סותר את הסעיף הזה.
דרך 1 — פיתוח לפלס לפי השורה הראשונה
שלב 1 — שלושת המינורים. נסמן את המינור המתאים לאיבר ב-:
שלב 2 — הרכבת הפיתוח. עם , , :
שלב 3 — פתיחה וכינוס.
המחוברים ו- מתבטלים, ונשארים ארבעה מחוברים שכולם כפולות של :
מסקנה. ו-, ולכן הביטוי בסוגריים ממשי ו- הוא כפול ממשי — כלומר מספר מדומה טהור, לכל .
דרך 2 — פעולת שורה שמייצרת אפס, ואז פיתוח
שלב 1 — הפעולה. השורות הראשונה והשלישית הן ו-; הן חולקות את הרכיב האמצעי . הפעולה אינה משנה את ערך הדטרמיננטה:
שלב 2 — פיתוח לפי השורה החדשה. יש בה אפס, ולכן שורדים רק שני מחוברים:
שלב 3 — הצבת המינורים. מהדרך הקודמת: המינור הראשון הוא והשני הוא . לכן
ומכיוון ש-:
מסקנה. אותו ביטוי בדיוק כמו בדרך 1, ולכן אותה מסקנה: .
💡 מה מבדיל בין הדרכים
דרך 1 מחשבת שלושה מינורים; דרך 2 משקיעה פעולת שורה אחת וחוסכת מינור. כאשר שתי שורות חולקות רכיב זהה — כאן באמצע — כדאי תמיד לבדוק אם החיסור מייצר אפס.
תשובה
א.2
כל עם ו-
נתון . מצאו את כל ערכי המקיימים .
📖 תוכנית פתרון
הסעיף הקודם נתן , ולכן שקול למשוואה ממשית אחת. דרך 1 מציבה בה ופותרת משוואה ריבועית ב-. דרך 2 מזהה את המשוואה כמעגל במישור המרוכב ומחתכת אותו עם הישר .
⚠️ טעות נפוצה
לנסות לפתור את כמשוואה פולינומית ב- בלבד. אינו קבוע ואינו משתנה עצמאי — הוא תלוי ב-, ולכן חייבים לעבור ל- (או לביטויים ו-).
דרך 1 — הצבה אלגברית ומשוואה ריבועית
שלב 1 — תנאי ההתאפסות. מכפלה של במספר ממשי מתאפסת אם ורק אם הממשי מתאפס:
שלב 2 — הצבת הנתון. הנתון אומר עם , ואז ו-:
שלב 3 — שני השורשים. או , ולכן או .
בדיקה. עבור : , , סכום — כנדרש. עבור : , , סכום — כנדרש.
מסקנה. התשובה היא בדיוק שני הערכים ו-.
דרך 2 — קריאה גאומטרית: מעגל חותך ישר
שלב 1 — השלמה לריבוע. נכתוב עם . אז ו-, ותנאי ההתאפסות הופך ל-
שלב 2 — זיהוי הצורה. זהו מעגל במישור המרוכב שמרכזו בנקודה (כלומר , ) ורדיוסו . כל ה- שעבורם יושבים עליו.
שלב 3 — חיתוך עם הישר . הנתון הוא ישר אופקי. נציב :
מסקנה. הישר חותך את המעגל בשתי נקודות, ו- — בדיוק כפי שקיבלנו אלגברית.
💡 מה הדרך הגאומטרית מוסיפה
המרחק ממרכז המעגל אל הישר הוא , ולכן ידוע מראש שיהיו שתי נקודות חיתוך. זו בדיקת שפיות מיידית על מספר הפתרונות.
תשובה
או
ב
(10 נק') הוכיחו או הפריכו:
תהי העתקה לינארית מעל שדה . הוכיחו או הפריכו את הטענה הבאה: אם מתקיים אז .
⚠️ קודם כול — לאיזה כיוון הטענה?
בשאלון העברי הביטויים הלטיניים מסודרים משמאל לימין בתוך משפט שנקרא מימין לשמאל. הקריאה הנכונה: ההנחה היא (החזקות הגבוהות) והמסקנה היא . הכיוון ההפוך הוא משפט אמיתי, ולכן לו זו הייתה הטענה לא היה טעם ב"הוכיחו או הפריכו".
📜 שרשרת התמונות
לכל העתקה מתקיים , כי . השרשרת יורדת בלבד, ומרגע שיש בה שוויון אחד — כל השאר שווים לו. הטענה בשאלה מנסה לקרוא את השרשרת אחורה, וזה בדיוק מה שנכשל.
📖 תוכנית פתרון
הטענה שקרית, ולכן די בדוגמה נגדית אחת — נביא שתיים, בשני מרחבים שונים לגמרי. הרעיון המשותף: לקחת נילפוטנטית מסדר 2, כלומר אבל . אז שני האגפים בהנחה הם וההנחה מתקיימת בזול, בעוד המסקנה נכשלת.
דרך 1 — הזזה על
שלב 1 — בניית הדוגמה. ניקח ונגדיר
לינארית (הרכיבים של התמונה הם פונקציות לינאריות של ).
שלב 2 — חישוב החזקות.
שלב 3 — בדיקת ההנחה והמסקנה.
מסקנה. מצאנו העתקה לינארית שההנחה מתקיימת בה והמסקנה נכשלת בה, ולכן הטענה שקרית.
דרך 2 — אופרטור הגזירה על מרחב פולינומים
שלב 1 — המרחב וההעתקה. ניקח — הפולינומים מדרגה קטנה מ-2, מרחב דו-ממדי עם בסיס — ונגדיר (גזירה). זו העתקה לינארית ידועה.
שלב 2 — חישוב באמצעות דרגות. ו-, ולכן המטריצה המייצגת בבסיס היא
ומכאן ו-.
שלב 3 — תרגום חזרה לתמונות. דרגה פירושה תמונה :
מסקנה. שוב ההנחה מתקיימת והמסקנה נכשלת — הפרכה שנייה, בלתי תלויה.
הכיוון ההפוך — משפט
אם אז, בהפעלת על שני האגפים, . כלומר השוויון 'מתפשט קדימה' לאורך השרשרת אבל לעולם לא אחורה — וזה בדיוק מקור הכישלון של הטענה שבשאלון.
תשובה
הטענה שקרית על
עוד 4 שאלות במבחן הזה
השאלה שלמעלה פתוחה במלואה, בחינם. כל שאר השאלות פתורות באותה צורה — שלב אחר שלב, בשתי דרכי פתרון בכל מקום שאפשר, עם פירוט הטעויות שהבודקים רואים הכי הרבה.